Unidad 5 materiales para la familia

Esta semana nuestros estudiantes estarán sumando y restando números negativos. Podemos representar esto usando flechas en una recta numérica. La flecha para un número positivo apunta hacia la derecha y la flecha para un número negativo apunta hacia la izquierda. Para sumar números, ponemos las flechas cola con punta.

Por ejemplo, esta es una recta numérica que muestra \(\text-5 + 12 = 7\):

El primer número se representa con una flecha que comienza en 0, apunta hacia la izquierda y mide 5 unidades. El siguiente número se representa con una flecha que comienza exactamente en la punta de la primera, apunta hacia la derecha y mide 12 unidades. La respuesta es 7, porque la punta de esta segunda flecha termina sobre el 7 de la recta numérica.

En la escuela primaria, los estudiantes aprendieron que cualquier ecuación de suma tiene dos ecuaciones de resta relacionadas. Por ejemplo, si sabemos que \(3 + 5 = 8\), entonces también sabemos que \(8 - 5 = 3\) y \(8 - 3 = 5\).

Lo mismo ocurre cuando hay números negativos en la ecuación. Del ejemplo anterior, \(\text-5 + 12 = 7\), también sabemos que \(7 - 12 = \text-5\) y \(7 - \text-5 = 12\).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Usen la recta numérica para representar \(3 + \text-5\).
    

   

   

2. Indiquen qué les dice su respuesta sobre los valores de:
   1. \(\text-2-3\)
   2. \(\text-2-\text-5\)

Solución:

1. La primera flecha comienza en 0, mide 3 unidades y apunta hacia la derecha. La segunda flecha comienza en la punta de la primera, mide 5 unidades y apunta hacia la izquierda. Esta segunda flecha termina encima del -2, entonces, \(3+\text-5 = \text-2\).

   

   

2. De la ecuación de suma \(3 + \text-5 = \text-2\), obtenemos las dos ecuaciones de resta relacionadas:
   1. \(\text-2-3 = \text-5\)
   2. \(\text-2 - \text-5 = 3\)

Esta semana nuestros estudiantes estarán multiplicando y dividiendo números negativos. Las reglas para multiplicar números positivos y negativos están diseñadas para asegurarse de que la suma y la multiplicación funcionen igual que siempre.

Por ejemplo, en la escuela primaria los estudiantes aprendieron a pensar en "4 veces 3" como 4 grupos de 3, es decir, \(4 \boldcdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12\). Podemos pensar en "4 veces -3" de la misma manera: \(4 \boldcdot \text-3 = (\text-3) + (\text-3) + (\text-3) + (\text-3) = \text-12\). Otra propiedad importante de la multiplicación es que podemos multiplicar números en cualquier orden. Esto significa que \(\text-3 \boldcdot 4 = 4 \boldcdot \text-3 = \text-12\).

¿Qué sucede con \(\text-3 \boldcdot \text-4\)? Puede parecer extraño, pero la respuesta es 12. Para entender por qué, podemos pensar que -4 es \((0-4)\).

\(\displaystyle (\text-3) \boldcdot (\text-4)\)

\(\displaystyle (\text-3)\boldcdot(0-4)\)

\(\displaystyle (\text-3 \boldcdot 0) - (\text-3 \boldcdot 4)\)

\(\displaystyle 0 - \text-12\)

\(\displaystyle 12\)

Después de practicar más, nuestros estudiantes podrán recordar lo siguiente sin necesidad de pensar en ejemplos:

• Un positivo por un negativo es un negativo.
• Un negativo por un positivo es un negativo.
• Un negativo por un negativo es un positivo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Calculen \(5 \boldcdot \text-2\).
2. Usen su respuesta a la pregunta anterior para calcular:
   1. \(\text-2 \boldcdot 5\)
   2. \(\text-2 \boldcdot \text-5\)
   3. \(\text-5 \boldcdot \text-2\)

Solución:

1. La respuesta es \(\text-10\). Podemos pensar en \(5 \boldcdot \text-2\) como 5 grupos de -2, entonces \(5 \boldcdot \text-2 = (\text-2) + (\text-2) + (\text-2) + (\text-2) + (\text-2) = \text-10\)
2.  
   1. La respuesta es \(\text-10\). Podemos multiplicar los números en cualquier orden, por lo tanto \(\text-2 \boldcdot 5 = 5 \boldcdot \text-2 = \text-10\)
   2. La respuesta es 10. Podemos pensar que \(\text-5\) es \((0-5)\) y, así, \(\text-2 \boldcdot (0-5) = 0 - \text-10 = 10\).
   3. La respuesta es 10. Posibles estrategias:
      • Podemos pensar que \(\text-2\) es \((0-2)\) y, así, \(\text-5 \boldcdot (0-2) = 0 - \text-10 = 10\).
      • Podemos multiplicar los números en cualquier orden, por lo tanto \(\text-5 \boldcdot \text-2 = \text-2 \boldcdot \text-5 = 10\).

Esta semana, nuestros estudiantes van a usar lo que saben sobre números negativos para resolver ecuaciones.

• El opuesto de 5 es -5, pues \(5 + \text-5 = 0\). A esto también se le llama el inverso aditivo.
• El recíproco de 5 es \(\frac15\), pues \(5 \boldcdot \frac15 = 1\). A esto también se le llama el inverso multiplicativo.

Pensar en opuestos y en recíprocos nos puede ayudar a resolver ecuaciones. Por ejemplo, ¿qué valor de \(x\) hace que la ecuación \(x + 11 = \text-4\) sea verdadera?

La solución es -15.

¿Qué valor de \(y\) hace que la ecuación \(\frac{\text-1}{3}y = 6\) sea verdadera?

La solución es -18.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Resuelvan cada ecuación:

Solución:

1. -8, pues \(17 + \text-25 = \text-8\).
2. 7.5 o algo equivalente, pues \(\frac{\text-1}{4} \boldcdot \text-30 = 7.5\).
3. -16, pues \(\frac{\text-4}{3} \boldcdot 12 = \text-16\).