Lección 3

Locos por los rectángulos

Recortemos rectángulos.

3.1: Cuadrados en rectángulos

  1. El rectángulo \(ABCD\) no es un cuadrado. El rectángulo \(ABEF\) es un cuadrado.

    A rectangle is labeled ABCD with horizontal side BC below horizontal side AD. Vertical line segment FE is drawn creating square ABEF.

    1. Supón que el segmento \(AF\) tiene una longitud de 5 unidades y el segmento \(FD\) tiene una longitud de 2 unidades. ¿Qué longitud tiene el segmento \(AD\)?

    2. Supón que el segmento \(BC\) tiene una longitud de 10 unidades y el segmento \(BE\) tiene una longitud de 6 unidades. ¿Qué longitud tiene el segmento \(EC\)?

    3. Supón que el segmento \(AF\) tiene una longitud de 12 unidades y el segmento \(FD\) tiene una longitud de 5 unidades. ¿Qué longitud tiene el segmento \(FE\)?

    4. Supón que el segmento \(AD\) tiene una longitud de 9 unidades y el segmento \(AB\) tiene una longitud de 5 unidades. ¿Qué longitud tiene el segmento \(FD\)?

  2. El rectángulo \(JKXW\) ha sido descompuesto en cuadrados.

    Tiling of rectangle KXWJ with 2 large squares, 3 medium squares, 1 small square, and 2 tiny squares.

    El segmento \(JK\) tiene una longitud de 33 unidades y el segmento \(JW\) tiene una longitud de 75 unidades. Encuentra el área de todos los cuadrados en el diagrama.

  3. El rectángulo \(ABCD\) es de 16 unidades por 5 unidades.

    A rectangle labeled ABCD is indicated with horizontal side AB below horizontal side DC.

    1. En el diagrama, dibuja un segmento de recta que descomponga \(ABCD\) en dos regiones: un cuadrado que sea tan grande como sea posible y un rectángulo nuevo. 

    2. Dibuja otro segmento de recta que descomponga el nuevo rectángulo en dos regiones: un cuadrado, tan grande como sea posible, y un rectángulo nuevo.

    3. Continúa haciéndolo hasta que el rectángulo \(ABCD\) esté completamente descompuesto en cuadrados.

    4. Enumera la longitud de los lados de todos los cuadrados en tu diagrama.


Rectangle VWYZ is decomposed into 3 squares. 

  1. El diagrama muestra que el rectángulo \(VWYZ\) está descompuesto en tres cuadrados. ¿Cuál podría ser la longitud de los lados de este rectángulo? 

  2. ¿Cuántas longitudes de lado diferentes puedes encontrar para el rectángulo \(VWYZ\)? 

  3. ¿Cuáles son algunas reglas para las posibles longitudes de lado del rectángulo \(VWYZ\)? 

3.2: Más rectángulos, más cuadrados

  1. Dibuja un rectángulo de 21 unidades por 6 unidades.

     

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original se ha descompuesto por completo en cuadrados.

    2. ¿Cuántos cuadrados de cada tamaño hay en tu diagrama?

    3. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado más pequeño?

  2. Dibuja un rectángulo de 28 unidades por 12 unidades.

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original ha sido descompuesto por completo en cuadrados.

    2. ¿Cuántos cuadrados de cada tamaño hay en tu diagrama?

    3. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado más pequeño?

  3. Escribe cada una de estas fracciones como un número mixto con el numerador y denominador tan pequeños como sea posible:

    1. \(\frac{16}{5}\)

    2. \(\frac{21}{6}\)

    3. \(\frac{28}{12}\)

  4. ¿Qué tienen que ver los problemas de fracciones con los problemas previos de descomposición de rectángulos? 

3.3: Encontremos fracciones equivalentes

  1. Dibuja con exactitud un rectángulo de 9 unidades por 4 unidades.

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original se ha descompuesto por completo en cuadrados.

    2. ¿Cuántos cuadrados de cada tamaño hay en tu diagrama?

    3. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado más pequeño?

    4. Escribe \(\frac94\) como un número mixto.

  2. Dibuja con exactitud un rectángulo de 27 unidades por 12 unidades.

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original se ha descompuesto por completo en cuadrados.

    2. ¿Cuántos cuadrados de cada tamaño hay en tu diagrama?

    3. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado más pequeño?

    4. Escribe \(\frac{27}{12}\) como un número mixto.

    5. Compara el diagrama que dibujaste para este problema y el que dibujaste para el problema anterior. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

  3. ¿Cuál es el máximo factor común de 9 y 4? ¿Cuál es el máximo factor común de 27 y 12? ¿Qué tiene esto que ver con tus diagramas de rectángulos descompuestos?



Hemos visto algunos ejemplos de recubrimientos de rectángulos. Un recubrimiento es una manera de cubrir una figura completamente con otras figuras, sin espacios o superposiciones. Por ejemplo, a continuación tenemos un recubrimiento del rectángulo \(KXWJ\) con 2 cuadrados grandes, 3 cuadrados medianos, 1 cuadrado pequeño y 2 cuadrados diminutos.

Tiling of rectangle KXWJ with 2 large squares, 3 medium squares, 1 small square, and 2 tiny squares.

Algunos de los cuadrados usados para recubrir este rectángulo tienen el mismo tamaño.

¿Es posible recubrir un rectángulo con cuadrados cuyos tamaños sean todos diferentes?

Si crees que es posible, encuentra esos rectángulos y ese recubrimiento. Si crees que no es posible, explica por qué no es posible.

3.4: Todo sobre fracciones

  1. Dibuja con exactitud un rectángulo de 37 por 16. (Usa papel cuadriculado, si es posible).

     

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original se ha descompuesto por completo en cuadrados.

    2. ¿Cuántos cuadrados de cada tamaño hay en tu diagrama?

    3. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado más pequeño?

    4. ¿Qué tiene esto que ver con \(2+\frac{1}{3+\frac15}\)?

  2. Considera un rectángulo de 52 por 15.

     

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original se ha descompuesto por completo en cuadrados.

    2. Escribe una fracción igual a esta expresión: \(3+\frac{1}{2+\frac17}\).

    3. Observa algunas relaciones entre el rectángulo y la fracción.

    4. ¿Cuál es el máximo factor común de 52 y 15?

  3. Considera un rectángulo de 98 por 21.

     

    1. En tu rectángulo, dibuja en segmento de recta que descomponga el rectángulo en un rectángulo nuevo y un cuadrado tan grande como sea posible. Continúa hasta que el diagrama muestre que tu rectángulo original se ha descompuesto por completo en cuadrados.

    2. Escribe una fracción igual a esta expresión: \(4+\frac{1}{1+\frac{7}{14}}\).

    3. Observa algunas relaciones entre el rectángulo y la fracción.

    4. ¿Cuál es el máximo factor común de 98 y 21?

  4. Considera un rectángulo de 121 por 38.

     

    1. Usa el proceso de descomposición en cuadrados para escribir una fracción continua para \(\frac{121}{38}\). Verifica que funcione.

    2. ¿Cuál es el máximo factor común de 121 y 38?

Resumen