# Lesson 22

Resolvamos problemas en los que hay números grandes

## Warm-up: Verdadero o falso: Sumas y diferencias (10 minutes)

### Narrative

This warm-up prompts students to look carefully at the sum and difference of the digits in each place and to remember to compose units when needed. It also prompts students to make use of structure (MP7). For example, the last expression would be cumbersome to calculate with the standard algorithm. Recognizing that 99,999 is 1 less than 100,000 would enable students to find the difference much more quickly. Likewise, students who notice that $$300,\!000 + 99,\!999$$ is only 1 away from 400,000 would know that 311,111 is far too high and cannot be the difference between 400,000 and 99,999.

### Launch

• Display one statement.
• “Hagan una señal cuando sepan si la afirmación es verdadera o no, y puedan explicar cómo lo saben” // “Give me a signal when you know whether the statement is true and can explain how you know.”
• 1 minute: quiet think time

### Activity

• Share and record answers and strategy.
• Repeat with each statement.

### Student Facing

En cada caso, decide si la afirmación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar cómo razonaste.

• $$7,\!000 + 3,\!000 = 10,\!000$$
• $$7,\!180 + 3,\!920 = 10,\!100$$
• $$423,\!450 - 42,\!345 = 105$$
• $$400,\!000 - 99,\!999 = 311,\!111$$

### Activity Synthesis

• “¿Cómo pueden explicar su respuesta sin encontrar el valor de ambos lados?” // “How can you explain your answer without finding the value of both sides?”

## Activity 1: Eventos para recaudar fondos (15 minutes)

### Narrative

In this activity, students perform multi-digit addition and subtraction to solve problems in context and assess the reasonableness of answers. The situation can be approached in many different ways, such as:

• Arrange the numbers in some way before adding or subtracting.
• Add the largest numbers first.
• Add two numbers at a time.
• Add numbers with the same number of digits.
• Subtract each expense, one by one, from the amount collected.

Students reason abstractly and quantitatively when they make sense of the situation and decide what operations to perform with the given numbers (MP2).

### Required Materials

Materials to Gather

### Launch

• Groups of 2

• Display only the problem stem, without revealing the questions.
• “Vamos a leer este problema 3 veces” // “We are going to read this problem 3 times.”
• 1st Read: Read both parts of the problem including fall and spring purchases.
• “¿De qué se trata esta historia?” // “What is this story about?”
• 1 minute: partner discussion.
• Listen for and clarify any questions about the money raised and the money paid.
• 2nd Read: Read both parts of the problem including fall and spring purchases.
• “¿Cuáles son todas las cosas de esta historia que podemos contar?” // “What are all the things we can count in this story?” (costs of uniforms, meet fees, competition expenses, awards, travel costs)
• 30 seconds: quiet think time
• 2 minutes: partner discussion
• Share and record all quantities.
• Reveal the questions
• “¿De qué formas diferentes podemos resolver este problema?” // “What are different ways we can solve this problem?”
• 30 seconds: quiet think time
• 1–2 minutes: partner discussion

### Activity

• 3–5 minutes: partner work time

### Student Facing

Los equipos de atletismo de una escuela recaudaron \$41,560 vendiendo cosas y organizando eventos. En el otoño, los equipos pagaron \$3,180 por los uniformes, \$1,425 por las inscripciones a los eventos de atletismo y \$18,790 por los gastos de viaje.

En la primavera, los equipos pagaron \$10,475 por la renovación de sus equipos, \$1,160 por los gastos de competencias y \\$912 por los premios y los trofeos.

1. ¿La cantidad de dinero que recaudaron fue suficiente para cubrir todos los pagos? Explica o muestra cómo lo sabes.
2. Si la cantidad recaudada fue suficiente, ¿cuánto dinero les queda a los equipos de atletismo después de pagar todos los gastos? Si no fue suficiente, ¿cuánto dinero gastaron de más? Explica o muestra cómo lo sabes.

### Activity Synthesis

• Invite students who solved the problem in different ways to share.

## Activity 2: El menor y el mayor de todos (20 minutes)

### Narrative

In this activity, students practice adding and subtracting multi-digit numbers through a game. Students draw several cards containing single-digit numbers, arrange the cards to form two numbers that would give the greatest and the least sums and differences. To meet these criteria, students look for and make use of structure in base-ten numbers (MP7).

Action and Expression: Develop Expression and Communication. Provide access to blank four-squares labeled as the greatest possible sum, the least possible sum, the greatest possible difference, and the least possible difference. Invite students to use this template to keep their work organized.
Supports accessibility for: Organization, Attention

### Required Materials

Materials to Gather

Materials to Copy

• 0-9 Digit Cards

### Launch

• Groups of 2
• A set of 10 cards (from the blackline master) for each group, each card with a single-digit number (0–9).
• “¿Cuántos números de tres dígitos podríamos formar con 1, 2 y 3? Piensen en todos los posibles números” // “How many three-digit numbers could we form with 1, 2, and 3? Think of all of them.” (123, 132, 213, 231, 312, and 321)
• “¿Pueden encontrar una pareja de números de su lista con la que obtengan la menor suma?, ¿la mayor suma?, ¿la menor diferencia?, ¿la mayor diferencia?” // “Can you find a pair of numbers from your list that would produce the least sum? The greatest sum? The smallest difference? The greatest difference?”

### Activity

• “Tomen turnos para escoger sus tarjetas, una por una” // “Take turns picking cards, one card at a time.”
• “Escojan 3 tarjetas para el primer problema. Juntos, formen números de tres dígitos con los que obtengan la mayor y la menor suma, y la mayor y la menor diferencia” // “For the first problem, pick 3 cards. Work together to make three-digit numbers that would give the greatest and the least sums and differences.”
• “Repitan lo anterior con 4 tarjetas en el segundo problema. Revisen los cálculos del otro” // “For the second problem, repeat with 4 cards. Check each other's calculations.”
• 10 minutes: partner work time

### Student Facing

Tu profesor les va a dar 10 tarjetas a ti y a tu compañero, cada una con un número del 0 al 9. Mezcla las tarjetas y ponlas boca abajo.

1. Saca 3 tarjetas. Usa las 3 tarjetas para formar dos números diferentes con los que obtengas:

1. la mayor suma posible

2. la menor suma posible

3. la mayor diferencia posible

4. la menor diferencia posible

2. Mezcla las tarjetas y saca 4. En cada caso, úsalas para formar dos números diferentes con los que obtengas:

1. la mayor suma posible

2. la menor suma posible

3. la mayor diferencia posible

4. la menor diferencia posible

### Student Response

Students may randomly place numbers and use a guess-and-check method. To draw attention to place value and possible strategies, consider asking: “Al tratar de formar la mayor suma posible, ¿cómo decides cuáles dígitos escoger para cada posición?” // “When making the largest sum possible, how do you decide which digits to choose for each place?”

### Activity Synthesis

• Ask students to share their sums and differences and the rest of the class to check if they actually are the greatest and least sums and differences.
• “Después de jugar un par de rondas, ¿averiguaron cómo encontrar más rápido la mayor o la menor suma o diferencia? ¿Cómo?” // “After playing a couple of rounds, did you figure out how to find the greatest or least sum or difference more quickly? How?” (Answers vary. Students say they estimated using the place value of the first digits of each number.)

## Lesson Synthesis

### Lesson Synthesis

Display these numbers:

• 732

• 3,005

• 8,401

• 12,475

• 218,699

“En esta lección, sumaron y restaron muchos números grandes para resolver problemas. Supongamos que estamos trabajando con estos números grandes” // “In this lesson, you added and subtracted lots of large numbers to solve problems. Suppose we’re working with these large numbers.”

“¿Qué formas hay de estimar la suma o la diferencia de varios números sin sumarlos?” // “What are some ways to estimate the sum or difference of a bunch of numbers without adding them?” (Round each number to make them easier to add or subtract. Look at the digits and the place values of the numbers involved to get a sense of the sizes of the numbers.)

“En caso de ser necesario hacer cálculos con cuidado, ¿cuáles son algunas formas de organizar los números y sumarlos o restarlos de una forma eficiente?” // “If careful calculations are needed, what are some ways to organize the numbers and add or subtract them efficiently?” Some ideas:

• Start with computations that would result in multiples of 10, 100, 1,000, and so on, which would make other calculations easier. For example, in the given list of numbers, we could add 218,699 and 8,401 first because it’d give 227,100, and then add 12,475 and 3,005 because they both end in 5 and would add up to 15,480.

“¿Cómo podríamos encontrar dos números que produzcan la mayor suma o la mayor diferencia sin tratar de encontrar la suma y la diferencia de todas las posibles parejas de números?” // “How might we find two numbers that give the greatest sum or greatest difference without trying to find the sum and difference of every pair of numbers?” (Pay attention to the size of each number, based on the number of digits and their place values.)

## Student Section Summary

### Student Facing

En esta sección, usamos lo que entendemos sobre el valor posicional y la forma desarrollada para sumar y restar números grandes con el algoritmo estándar.

Aprendimos cómo usar el algoritmo estándar para llevar la cuenta de la suma de los dígitos cuando el resultado es un número mayor que 9.

Siempre que tenemos 10 de una unidad en base diez, formamos una nueva unidad en base diez y la registramos en la parte de arriba de la columna de números de la siguiente posición a la izquierda.

Cuando restamos números, puede ser necesario descomponer decenas, centenas, unidades de mil o decenas de mil antes de restar.

Finalmente, aprendimos que si el dígito al que le estamos restando es cero, es posible que necesitemos descomponer una unidad en base diez del dígito que está en la siguiente posición hacia la izquierda.

A veces es necesario mirar dos o más posiciones a la izquierda para encontrar una unidad en base diez que podamos descomponer. Por ejemplo, esta es una forma de descomponer una decena y una unidad de mil para encontrar el valor de $$2,\!050 - 1,\!436$$.