Lección 10

La propiedad distributiva (Parte 2)

Usemos los rectángulos para entender la propiedad distributiva con variables.

10.1: Áreas posibles

  1. Un rectángulo tiene un ancho de 4 unidades y un largo de \(m\) unidades. Escribe una expresión para el área de este rectángulo.
  2. ¿Cuál es el área del rectángulo si \(m\) es:

    ¿3 unidades?

    ¿2.2 unidades?

    ¿\(\frac15\) unidad?

  3. ¿El área de este rectángulo podría ser 11 unidades cuadradas? ¿Por qué sí o por qué no?

10.2: Rectángulos divididos cuando las longitudes son desconocidas

  1. Estos son dos rectángulos. Los valores del largo y ancho de un rectángulo son 8 y 5. El ancho del otro rectángulo es 5, pero su largo es desconocido, entonces lo marcamos como \(x\).

    Escribe una expresión para la suma de las áreas de los dos rectángulos.

    Two rectangles. The first rectangle has a height of 5 and width of x. The second rectangle has a height of 5 and width of 8.

  2. Los dos rectángulos se pueden unir para formar un rectángulo más grande como se muestra a continuación.

    ¿Cuáles son el ancho y el largo del rectángulo grande?

    Rectangle diagram. The first rectangle has a height of 5 and width of x. Attached is a second rectangle with the same height and width of 8.
  3. Escribe una expresión para el área total del rectángulo grande como el producto de su ancho y su largo.

10.3: Áreas de rectángulos divididos

Para cada rectángulo, escribe expresiones para el largo y el ancho, y dos expresiones para su área total. Regístralas en la tabla. Revisa tus expresiones en cada fila con tu grupo y discute cualquier desacuerdo.

Six different sized rectangles labeled A, B, C, D, E, and F.

 

rectángulo ancho largo área como un producto de ancho por largo área como una suma de las áreas de los rectángulos más pequeños
A
        
B
        
C
        
D
        
E
        
F
        

 



Este es un diagrama del área de un rectángulo.

Area diagram of a rectangle partition into 4 smaller rectangle.
 
  1. Encuentra las longitudes \(w\), \(x\), \(y\) y \(z\) y el área \(A\). Todos los valores son números enteros.
  2. ¿Puedes encontrar otro conjunto de longitudes que funcione? ¿Cuántas posibilidades hay?

Resumen

Este es un rectángulo compuesto por dos rectángulos más pequeños A y B. 

A partitioned rectangle.

A partir del dibujo, podemos hacer varias observaciones sobre el área del rectángulo:

  • La longitud de un lado del rectángulo grande es 3 y del otro lado es \(2+x\), entonces su área es \(3(2+x)\).
  • Como el rectángulo grande se puede descomponer en dos rectángulos más pequeños, A y B, sin superposición, el área del rectángulo grande es también la suma del área de los rectángulos A y B: \(3(2) + 3(x)\) o \(6+3x\).
  • Dado que las dos expresiones representan el área del rectángulo grande, estas son equivalentes entre sí. \(3(2+x)\) es equivalente a \(6 + 3x\).

Podemos ver que multiplicar 3 por la suma \(2+x\) es equivalente a multiplicar 3 por 2 y luego 3 por \(x\) y sumar los dos productos. Esta relación es un ejemplo de la propiedad distributiva.

\(\displaystyle 3(2+x) = 3 \boldcdot 2 + 3 \boldcdot x\)

Entradas del glosario

  • expresiones equivalentes

    Dos expresiones numéricas son equivalentes si tienen el mismo valor. Dos expresiones con variables son equivalentes si, al remplazar la variable por cualquier número, siempre dan el mismo valor.

    Por ejemplo, \(2(7-3)+2\) es equivalente a \(\frac{35+5}{4}\), porque ambas expresiones valen 10. La expresión con variables \(3x+4x\) es equivalente a \(5x+2x\), porque sin importar qué valor le demos a \(x\), estas expresiones siempre valdrán lo mismo. Cuando \(x=3\), ambas expresiones valen 21. Cuando \(x=10\), ambas expresiones valen 70. 

  • término

    Un término es una parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o la multiplicación de un número con una variable. Por ejemplo, la expresión \(5x + 18\)tiene dos términos: el primer término es \(5x\) y el segundo término es 18.