Lección 8
Igual y equivalente
Usemos diagramas para averiguar cuáles expresiones son equivalentes y cuáles son simplemente iguales algunas veces.
8.1: Conversación algebraica: resolvamos ecuaciones viendo la estructura
Encuentra mentalmente una solución para cada ecuación.
\(3 + x = 8\)
\(10 = 12 - x\)
\(x^2 = 49\)
\(\frac13 x = 6\)
8.2: Usemos diagramas para mostrar que las expresiones son equivalentes
Este es un diagrama de \(x+2\) y \(3x\) cuando \(x\) es 4. Observa que los dos diagramas están alineados por sus lados izquierdos.
En cada uno de tus dibujos a continuación, alinea los diagramas hacia un lado.
-
Dibuja un diagrama de \(x+2\) y, aparte, un diagrama de \(3x\), cuando \(x\) es 3.
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Dibuja un diagrama de \(x+2\) y, aparte, un diagrama de \(3x\), cuando \(x\) es 2.
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Dibuja un diagrama de \(x+2\) y, aparte, un diagrama de \(3x\), cuando \(x\) es 1.
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Dibuja un diagrama de \(x+2\) y, aparte, un diagrama de \(3x\), cuando \(x\) es 0.
- ¿Cuándo son iguales \(x+2\) y \(3x\)? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.
-
Dibuja un diagrama de \(x+3\) y, aparte, un diagrama de \(3+x\).
- ¿Cuándo son iguales \(x+3\) y \(3+x\)? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.
8.3: Identifiquemos expresiones equivalentes
Esta es una lista de expresiones. Encuentra parejas de expresiones que sean equivalentes. Si tienes dificultades, trata de razonar usando diagramas.
\(a+3\)
\(a+a+a\)
\(a \div \frac13\)
\(a \boldcdot 3\)
\(\frac13 a\)
\(3a\)
\(\frac{a}{3}\)
\(1a\)
\(a\)
\(3+a\)
A continuación hay cuatro preguntas sobre expresiones equivalentes. Para cada una:
- Decide si piensas que las expresiones son equivalentes.
- Evalúa tu decisión escogiendo números para \(x\) (y \(y\), si es necesario).
- ¿\(\dfrac{x \boldcdot x \boldcdot x \boldcdot x}{x}\) y \(x \boldcdot x \boldcdot x\) son expresiones equivalentes?
- ¿\(\dfrac{x + x + x + x}{x}\) y \(x + x + x\) son expresiones equivalentes?
- ¿\(2(x+y)\) y \(2x + 2y\) son expresiones equivalentes?
- ¿\(2xy\) y \(2x \boldcdot 2y\) son expresiones equivalentes?
Resumen
Podemos usar diagramas que muestren longitudes de rectángulos para ver cuándo son iguales las expresiones. Por ejemplo, las expresiones \(x+9\) y \(4x\) son iguales cuando \(x\) es 3, pero no son iguales para otros valores de \(x\).
A veces dos expresiones son iguales solo para un valor particular de su variable. Otras veces, parecen ser iguales sin importar el valor de la variable.
Las expresiones que siempre son iguales para el mismo valor de su variable se llaman expresiones equivalentes. Sin embargo, sería imposible evaluar todos los valores posibles de la variable. ¿Cómo podemos saber con certeza que las expresiones son equivalentes? Usamos el significado de las operaciones y las propiedades de las operaciones para saber que las expresiones son equivalentes. Estos son algunos ejemplos:
- \(x+3\) es equivalente a \(3+x\) por la propiedad conmutativa de la suma.
- \(4\boldcdot {y}\) es equivalente a \(y\boldcdot 4\) por la propiedad conmutativa de la multiplicación.
- \(a+a+a+a+a\) es equivalente a \(5\boldcdot {a}\) porque sumar 5 copias de algo es lo mismo que multiplicarlo por 5.
- \(b\div3\) es equivalente a \(b \boldcdot {\frac13}\) porque dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco.
En las lecciones que siguen veremos cómo otra propiedad, la propiedad distributiva, puede mostrar que algunas expresiones son equivalentes.
Entradas del glosario
- expresiones equivalentes
Dos expresiones numéricas son equivalentes si tienen el mismo valor. Dos expresiones con variables son equivalentes si, al remplazar la variable por cualquier número, siempre dan el mismo valor.
Por ejemplo, \(2(7-3)+2\) es equivalente a \(\frac{35+5}{4}\), porque ambas expresiones valen 10. La expresión con variables \(3x+4x\) es equivalente a \(5x+2x\), porque sin importar qué valor le demos a \(x\), estas expresiones siempre valdrán lo mismo. Cuando \(x=3\), ambas expresiones valen 21. Cuando \(x=10\), ambas expresiones valen 70.