Lección 3

Mantener el balance

Usemos colgadores balanceados para ayudarnos a resolver ecuaciones.

3.1: Enganchados

Two hangers, A and B. A, unbalanced. B, balanced.

Para el Diagrama A, encuentra:

  1. Algo que debe ser cierto
  2. Algo que podría ser cierto o falso
  3. Algo que no puede ser cierto

Para el Diagrama B, encuentra:

  1. Algo que debe ser cierto
  2. Algo que podría ser cierto o falso
  3. Algo que no puede ser cierto

3.2: Emparejemos ecuaciones y diagramas

Four balanced hangers, A, B, C, and D.
  1. Empareja cada colgador con una ecuación. Completa la ecuación escribiendo \(x\), \(y\), \(z\) o \(w\) en la caja vacía.

    \(\boxed{\phantom{3}} + 3 = 6\)

    \(3 \boldcdot \boxed{\phantom{3}} = 6\)

    \(6 =\boxed{\phantom{3}} + 1\)

    \(6 = 3 \boldcdot \boxed{\phantom{3}}\)

  2. Encuentra una solución para cada ecuación. Usa los colgadores para explicar lo que significa cada solución. ​​

3.3: Conectar diagramas con ecuaciones y soluciones

Estos son algunos diagramas de colgador balanceados en los que cada pieza está etiquetada con su peso.

Four balanced hangers, A, B, C, and D.

Para cada diagrama:

  1. Escribe una ecuación.
  2. Explica cómo razonar usando el diagrama para hallar el peso de una pieza etiquetada con una letra.

  3. Explica cómo razonar usando la ecuación para hallar el peso de una pieza etiquetada con una letra.

Resumen

Un colgador está balanceado cuando el peso en ambos lados es el mismo. Podemos cambiar los pesos y el colgador se mantendrá balanceado siempre y cuando el cambio sea igual en ambos lados. Por ejemplo, si se agregan 2 libras a cada lado de un colgador balanceado, este se mantendrá balanceado. Al quitar la mitad del peso de cada lado, también se mantendrá balanceado.

Una ecuación se puede asociar con un colgador balanceado. Podemos cambiar la ecuación, pero para que una ecuación verdadera siga siendo verdadera, debe hacerse lo mismo a los dos lados del signo igual. Si sumamos o restamos el mismo número a cada lado, o si multiplicamos o dividimos por la misma cantidad a cada lado, la ecuación nueva seguirá siendo verdadera.

Esta forma de pensar nos puede ayudar a encontrar soluciones a ecuaciones. En vez de revisar diferentes valores, podemos pensar en restar la misma cantidad de cada lado o en dividir cada lado entre el mismo número.

Two balanced hangers, A and B.

El Diagrama A se puede representar con la ecuación \(3x = 11\).

Si partimos el 11 en 3 partes iguales, cada parte tendrá el mismo peso que un bloque con una \(x\).

Separar cada lado del colgador en 3 partes iguales es lo mismo que dividir entre 3 cada lado de la ecuación.

  • \(3x\) dividido entre 3 es igual a \(x\).
  • 11 dividido entre 3 es \( \frac{11}{3} \).
  • Si \(3x = 11\) es verdadera, entonces \( x = \frac{11}{3} \) es verdadera.
  • La solución de \(3x = 11\) es \(\frac{11}{3}\).

El Diagrama B se puede representar con la ecuación \(11 = y + 5\).

Si quitamos un peso de 5 de cada lado del colgador, este seguirá balanceado.

Quitar 5 de cada lado del colgador es lo mismo que restar 5 a cada lado de la ecuación.

  • \(11-5\) es 6.
  • \(y+5-5\) es \(y\).
  • Si \(11 = y + 5\) es verdadera, entonces \(6 = y \) es verdadera.
  • La solución de \(11 = y + 5\) es 6.

Entradas del glosario

  • coeficiente

    El coeficiente de una variable es el número que la multiplica. 

    Por ejemplo, en la expresión \(3x+5\), el coeficiente de la \(x\) es 3. En la expresión \(y+5\), el coeficiente de la \(y\) es 1, porque \(y=1 \boldcdot y\). En la expresión \(\frac{3x}{4}-2\) el coeficiente de la \(x\) es \(\frac34\), porque \(\frac{3x}{4}=\frac34 \boldcdot x\).

  • solución de una ecuación

    Una solución de una ecuación es un número que al reemplazar a la variable hace que la ecuación sea verdadera.

    Por ejemplo, 7 es la solución de la ecuación \(m+1=8\), porque \(7+1=8\) es cierto. En cambio, 9 no es solución de \(m+1=8\), porque \(9+1\ne8\).

  • variable

    Una variable es una letra que representa un número. Puedes elegir distintos números como valores de la variable.

    Por ejemplo, en la expresión \(10-x\), la variable es \(x\). Si el valor de \(x\) es 3, entonces \(10-x=7\), porque \(10-3=7\). Si el valor de \(x\) es 6, entonces \(10-x=4\), porque \(10-6=4\).