Lección 8

Traslademos a $y=mx+b$

Veamos lo que pasa con las ecuaciones de rectas trasladadas. 

8.1: Rectas que son traslaciones

lines j, h, g, f, i graphed on grid. j is green, h is yellow, g is blue, f is black, and i is red. 

El diagrama muestra varias rectas. Solo se puede ver una parte de las rectas, pero en realidad éstas continúan infinitamente en ambas direcciones.

  1. ¿Cuáles rectas son imágenes de la recta \(f\) al realizar una traslación? Es decir, ¿cuáles rectas se pueden obtener al realizar una traslación de la recta \(f\)?
  2. Para cada recta que sea una traslación de \(f\), dibuja una flecha en la cuadrícula que muestre la distancia de la traslación vertical.

8.2: Aumento del ahorro

  1. Diego gana \$10 por cada hora cuidando niños. Supongamos que no tiene dinero ahorrado antes de comenzar a cuidar niños y planea ahorrar todas sus ganancias. Grafica cuánto dinero, \(y\), tiene después de \(x\) horas cuidando niños.

  2. Ahora imagina que Diego comenzó a cuidar niños con \$30 ahorrados. En el mismo par de ejes, grafica la cantidad de dinero, \(y\), que tendría después de \(x\) horas cuidando niños.

  3. Compara la segunda recta con la primera recta. ¿Cuánto dinero más tiene Diego después de 1 hora cuidando niños?, ¿2 horas?, ¿5 horas?, ¿\(x\) horas?

  4. Escribe una ecuación para cada recta.

8.3: Traslaciones de una recta

Esta gráfica muestra dos rectas. La recta \(a\) pasa por el origen \((0, 0)\). La recta \(h\) es la imagen de la recta \(a\) al realizar una traslación.

Graph of lines a, h. a has a slope of the fraction 1 over 4 and y intercept of 0. h has a y intercept of -5 and a slope of the fraction 1 over 4.
  1. Selecciona todas las ecuaciones cuya gráfica es la recta \(h\).
    1. \(y = \frac14 x - 5\)

    2. \(y = \frac14x + 5\)

    3. \(\frac14x - 5 = y\)

    4. \(y = \text-5 + \frac14x\)

    5. \(\text-5 + \frac14x = y\)

    6. \(y = 5 - \frac14x\)

  2. Tu profesor te dará 12 tarjetas. Hay 4 pares de rectas, de A a D, que muestran la gráfica (\(a\)) de una relación proporcional y la imagen (\(h\)) de \(a\) al realizar una traslación. Asocia cada recta \(h\) con una ecuación, así como con una tabla o con una descripción. Para la recta que no tiene una ecuación asociada, escribe una ecuación en la tarjeta en blanco.


Un estudiante dice que la gráfica de la ecuación \(y = 3(x+8)\) es la misma que la gráfica de \(y = 3x\), solo que se traslada hacia arriba 8 unidades. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué sí o por qué no?

Resumen

Durante una tormenta a principios de invierno, la nieve cayó a una tasa de \(\frac12\) pulgada por cada hora. Podemos ver la tasa de cambio, \(\frac12\), tanto en la ecuación que representa esta tormenta, \(y=\frac12x\), como en la pendiente de la recta que representa esta tormenta.

Además de ser una relación lineal entre el tiempo transcurrido desde que comenzó la tormenta y la profundidad de la nieve, también podemos llamar a esto una relación proporcional ya que la profundidad de la nieve era 0 al comienzo de la tormenta.

Durante una tormenta a mediados de invierno, la nieve volvió a caer a una tasa de \(\frac12\) pulgada por cada hora, pero esta vez ya habían 5 pulgadas de nieve en el suelo. Podemos graficar esta tormenta en los mismos ejes que la primera tomando todos los puntos de la gráfica de la primera tormenta y trasladándolos hacia arriba 5 pulgadas.

2 horas después del comienzo de cada tormenta, ha caído 1 pulgada de nieve reciente. Para la primera tormenta, esto significa que ahora hay 1 pulgada de nieve en el suelo. Para la segunda tormenta, esto significa que ahora hay 6 pulgadas de nieve en el suelo. A diferencia de la primera tormenta, la segunda no es una relación proporcional ya que la recta que representa la segunda tormenta tiene una intersección con el eje vertical en 5. La ecuación que representa la tormenta, \(y=\frac12x+5\), tiene la forma \(y=mx+b\), donde \(m\) es la tasa de cambio y la pendiente de la gráfica, y \(b\) es la cantidad inicial y la intersección con el eje vertical de la gráfica.

Entradas del glosario

  • intersección con el eje vertical

    La intersección con el eje vertical es el punto en el cual la gráfica de una recta cruza el eje vertical

    La intersección con el eje vertical de esta recta es \((0,\text-6)\) o simplemente -6.

    A graph of a line with a vertical intercept of -6
  • relación lineal

    Que haya una relación lineal entre dos cantidades significa que se relacionan así: siempre que una cantidad cambia en una cierta cantidad, la otra cantidad cambia en otra cantidad fija. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

    La relación se llama lineal pues su gráfica es una línea recta.

    Esta gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.

    Siempre que el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día. Por lo tanto, la relación es lineal.