Lección 12

Soluciones de ecuaciones lineales

Pensemos en lo que significa ser una solución de una ecuación lineal que tiene dos variables.

12.1: Estimemos el área

¿Cuál figura tiene el área sombreada más grande?

3 squares labeled A, B, C.

 

12.2: Manzanas y naranjas

En el mercado de la esquina, las manzanas cuestan \$1 cada una y las naranjas cuestan \$2 cada una.

  1. Halla el costo de:
    1. ​6 manzanas y 3 naranjas
    2. 4 manzanas y 4 naranjas
    3. 5 manzanas y 4 naranjas
    4. 8 manzanas y 2 naranjas

  2. Noah tiene \$10 para gastar en el mercado. ¿Puede comprar 7 manzanas y 2 naranjas? Explica o muestra tu razonamiento.

  3. ¿Qué combinaciones de manzanas y naranjas puede comprar Noah si gasta todos sus \$10?

  4. Utiliza dos variables para escribir una ecuación que represente combinaciones de manzanas y naranjas que cuesten \$10. Asegúrate de decir qué significa cada variable.

  5. ¿Cuáles 3 combinaciones de manzanas y naranjas hacen verdadera tu ecuación? ¿Cuáles tres combinaciones de manzanas y naranjas la hacen falsa?



  1. Grafica la ecuación que escribiste para relacionar el número de manzanas y el número de naranjas.
  2. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Cuál es el significado de la pendiente en términos del contexto?
  3. Supongamos que Noah tiene \$20 para gastar. Grafica la ecuación que describe esta situación. ¿Qué observas acerca de la relación que hay entre esta gráfica y la gráfica anterior?

 

12.3: Soluciones y todo lo demás

Tienes dos números. Si duplicas el primer número y lo sumas al segundo número, la suma es 10.

  1. Digamos que \(x\) representa al primer número y \(y\) representa al segundo número. Escribe una ecuación que muestre la relación que hay entre \(x\), \(y\) y 10.

  2. Dibuja y etiqueta un par de ejes \(x\) y \(y\). Ubica por lo menos cinco puntos en este plano de coordenadas que hagan verdadera la afirmación y tu ecuación. ¿Qué observas acerca de los puntos que ubicaste?

  3. Haz una lista de diez puntos que no hagan verdadera la afirmación. Usa un color diferente para ubicar cada punto en el mismo plano de coordenadas. ¿Qué observas acerca de estos puntos en comparación con tu primer conjunto de puntos?

Resumen

Piensa en todos los rectángulos que tienen un perímetro de 8 unidades. Si \(x\) representa el ancho y \(y\) representa el largo, entonces la ecuación \(\displaystyle 2x+2y=8\) expresa la relación que hay entre el ancho y el largo de todos estos rectángulos.

Por ejemplo, el ancho y el largo pueden ser 1 y 3, ya que \(2 \boldcdot 1 + 2 \boldcdot 3 = 8\) o el ancho y el largo pueden ser 2.75 y 1.25, ya que \(2 \boldcdot (2.75) + 2 \boldcdot (1.25) = 8\).

Podemos hallar muchas otras parejas posibles de ancho y largo, \((x,y)\), que hacen verdadera la ecuación, es decir, parejas \((x,y)\) que al ser sustituidas en la ecuación hacen que el lado izquierdo y el lado derecho sean iguales.

Una solución de una ecuación en dos variables es cualquier pareja de valores \((x,y)\) que hacen verdadera la ecuación.

Podemos pensar en las parejas de números que son soluciones de una ecuación como puntos en el plano de coordenadas. Esta es una recta formada por todos los puntos \((x,y)\) que son soluciones de la ecuación \(2x+2y=8\). Cada punto que está sobre la recta representa un rectángulo de perímetro 8 unidades. Todos los puntos que no están sobre la recta no son soluciones de la ecuación \(2x+2y=8\).

Graph of a line, origin O, with grid. 

Entradas del glosario

  • solución de una ecuación en dos variables

    Una solución de una ecuación en dos variables es una pareja de valores para las variables que hacen que la ecuación sea verdadera.

    Por ejemplo, una posible solución de la ecuación \(4x+3y=24\) es \((6,0)\). Al remplazar \(x\) por 6 y \(y\) por 0, la ecuación es verdadera porque \(4(6)+3(0)=24\).