Lección 7

Representaciones de relaciones lineales

Escribamos ecuaciones a partir de situaciones reales.

7.1: Estimación: ¿cuál contiene más?

¿Cuál vaso podría contener más agua? ¿Cuál menos?

phot of 3 glasses. glass A, short, wide cylinder. glass b, tall, thin cylinder. glass c, hour glass shape, medium height.

 

7.2: Aumento del nivel del agua

  1. Registra en la tabla los datos de la demostración de tu profesor (puede que no necesites todas las filas).
  2. ¿Cuál es el volumen, \(V\), del cilindro después de agregar \(x\) objetos? Explica tu razonamiento.
  3. Si quisieras hacer que el agua alcance la marca más alta del cilindro, ¿cuántos objetos necesitarías?
  4. Dibuja y marca los puntos que muestren tus medidas en el experimento.
  5. Los puntos deben quedar sobre una recta. Usa una regla para graficar esta recta.
  6. Calcula la pendiente de la recta. ¿Qué significa la pendiente en esta situación?
  7. ¿Cuál es la intersección con el eje vertical y qué significa en esta situación?
número de objetos volumen en ml
   
   
   
   
   

 

 



Una situación está representada por la ecuación \(y = 5 +\frac12 x\).

  1. Inventa una historia para esta situación.

  2. Grafica la ecuación.

  3. Qué representan el \(\frac12\) y el 5 en tu situación?

  4. ¿Dónde ves el \(\frac12\) y el 5 en la gráfica?

7.3: Calculemos la pendiente

3 graphs of lines labeled A, B, C. 
  1. Para cada gráfica, registra:
      cambio vertical cambio horizontal pendiente
    A      
    B      
    C      
  2. Describe un procedimiento para encontrar la pendiente entre dos puntos cualesquiera de una recta.

  3. Escribe una expresión para la pendiente de la recta en la gráfica usando las letras \(u, v, s\) y \(t\).

    graph of a line. right triangle drawn right and up from point s comma t to point u comma v, boh on the line.

Resumen

Digamos que tenemos un cilindro de vidrio lleno con 50 ml de agua y un montón de canicas que tienen 3 ml de volumen. Si dejamos caer canicas en el cilindro de una en una, podemos observar el aumento de la misma magnitud en la altura del agua: 3 ml por cada canica que se agregue. Esta tasa de cambio constante significa que hay una relación lineal entre la cantidad de canicas y la altura del agua. Al agregar una canica, la altura del agua sube 3 ml. Al agregar 2 canicas, la altura del agua sube 6 ml. Al agregar \(x\) canicas, la altura del agua sube \(3x\) ml.

Razonando de esta manera, podemos calcular que la altura, \(y\), del agua para \(x\) canicas es \(y=3x+50\). Cualquier relación lineal puede expresarse de la forma \(y=mx+b\) usando solo la tasa de cambio, \(m\), y la cantidad inicial, \(b\). El 3 representa la tasa de cambio o la pendiente de la gráfica y el 50 representa la cantidad inicial o la intersección con el eje vertical de la gráfica. En lecciones futuras aprenderemos algunas formas más de pensar esta ecuación.

Ahora, ¿qué pasaría si no tuviéramos una descripción que exprese cúal es la pendiente y cúal es la intersección con el eje vertical? ¡Está bien, siempre y cuando podamos encontrar algunos puntos en la recta! Para la recta graficada aquí, \((3,3)\) y \((9,5)\) son dos puntos sobre la recta; podemos usar estos puntos para dibujar un triángulo de pendiente como se muestra a continuación:

La pendiente de esta recta es el cociente de la longitud del lado vertical del triángulo de pendiente y la longitud del lado horizontal del triángulo de pendiente. Entonces la pendiente, \(m\), es \(\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}=\frac26=\frac13\) . También podemos ver en la gráfica que la intersección con el eje vertical, \(b\), es 2. Al juntarlos, podemos decir que la ecuación de esta recta es \(y=\frac13x+2\).

Entradas del glosario

  • intersección con el eje vertical

    La intersección con el eje vertical es el punto en el cual la gráfica de una recta cruza el eje vertical

    La intersección con el eje vertical de esta recta es \((0,\text-6)\) o simplemente -6.

    A graph of a line with a vertical intercept of -6
  • relación lineal

    Que haya una relación lineal entre dos cantidades significa que se relacionan así: siempre que una cantidad cambia en una cierta cantidad, la otra cantidad cambia en otra cantidad fija. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

    La relación se llama lineal pues su gráfica es una línea recta.

    Esta gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.

    Siempre que el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día. Por lo tanto, la relación es lineal.