Lección 14

Toronto es una ciudad de Canadá que queda cerca de la frontera con los Estados Unidos, justo al norte de Búfalo, Nueva York. Estas son doce estimaciones de la temperatura promedio de Toronto, en grados Celsius, en febrero de 2017.

• 5
• 2
• -5
• 3
• 0
• -1
• 1.5
• 4
• -2.5
• 6
• 4
• -0.5

1. La temperatura promedio real de Toronto en febrero de 2017 es 0 grados Celsius.

   Usa esta información para dibujar el diagrama de dispersión de las estimaciones, \(x\), y los errores absolutos de estimación correspondientes, \(y\).

   

   

2. ¿Qué regla puedes escribir para encontrar la salida dada una entrada?

La función \(A\) da la distancia de \(x\) al 0 en la recta numérica.

1. Completa la tabla y dibuja la gráfica de la función \(A\).

   \(x\)	\(A(x)\)
   8
   	5.6
   \(\pi\)
   \(\frac12\)
   	1
   0
   \(\text-\frac12\)
   -1
   -5.6
   	8

   

   

2. Andre y Elena tratan de escribir una regla para esta función.

   • Andre escribe: \(A(x)=\begin{cases} x,& x \geq 0 \\ \text-x, & x < 0 \\ \end{cases}\)
   • Elena escribe: \(A(x) = |x|\)

   Explica por qué ambas ecuaciones representan correctamente la función \(A\).

Grafica las funciones \( f(x)=|x+a|\) y \(g(x)=|x|+b\). Ensaya distintos valores de \(a\) y \(b\) y observa lo que les pasa a las gráficas.

1. ¿Cómo cambia la gráfica de acuerdo al valor de \(a\)?
2. ¿Cómo cambia la gráfica de acuerdo al valor de \(b\)?

Estas son cinco ecuaciones y cuatro gráficas.

A

B

C

D

E

1. Empareja cada ecuación con la gráfica que la representa. Una de las ecuaciones no corresponde a ninguna gráfica.
2. Dibuja la gráfica de la ecuación que no emparejaste. Usa el plano de coordenadas que no tiene gráfica.
3. Revisa tus respuestas usando tecnología para graficar. Ajusta tus respuestas si necesitas.

En un juego de estimación de un número objetivo, cada estimación que se hace se puede ver cómo una entrada de una función y cada error absoluto de estimación se puede ver como una salida. Como el error absoluto de estimación nos dice qué tan lejos está la estimación del número objetivo, cada salida es una distancia.

Supongamos que el número objetivo es 0.

• Podemos encontrar la distancia de la estimación, \(x\), al 0, calculando \(x-0\). Como la distancia no puede ser negativa, lo que queremos encontrar es \(|x-0|\), o simplemente \(|x|\).
• Si la función \(f\) da la distancia de \(x\) al 0, la podemos definir con la ecuación:

\(f(x)=|x|\)

La función \(f\) es la función valor absoluto. Nos da la distancia de \(x\) al 0, que se encuentra tomando el valor absoluto de \(x\).

La gráfica de la función \(f\) tiene forma de V: está formada por dos rectas que se encuentran o convergen en \((0,0)\).

Llamamos a este punto el vértice de la gráfica. Es el punto en el que la gráfica cambia de dirección (de bajar a subir, o viceversa).

También podemos pensar en la función \(f\) como una función definida a trozos pues aplican reglas distintas cuando \(x\) es menor que 0 y cuando \(x\) es mayor que 0.

Supongamos que queremos encontrar la distancia entre \(x\) y 4.

• No podemos encontrar la distancia entre \(x\) y 4 calculando \(x-4\). La distancia no puede ser negativa. Lo que queremos encontrar es el valor absoluto de la diferencia: \(|x-4|\).
• Si la función \(p\) da la distancia de \(x\) al 4, la podemos definir con la ecuación:

\(p(x)= |x - 4|\)

Ahora supongamos que queremos encontrar la distancia entre \(x\) y -4.

• Podemos encontrar la diferencia entre \(x\) y -4 calculando \(x-(\text-4)\), que es igual a \(x+4\). La distancia no puede ser negativa, entonces tomamos el valor absoluto: \(|x+4|\).
• Si la función \(q\) da la distancia de \(x\) a -4, la podemos definir con la ecuación:
   

\(q(x)= |x + 4|\)

Observa que las gráficas de \(p\) y \(q\) son como la de \(f\), pero se desplazaron horizontalmente.