Lección 7

Usemos gráficas para encontrar la tasa de cambio promedio

  • Midamos qué tan rápido cambia la salida de una función.

7.1: Cae la temperatura

Estas son las temperaturas registradas en tres horas distintas de un día de invierno. 

hora 4 p.m. 6 p.m. 10 p.m.
temperatura \(25^\circ F\) \(17^\circ F\) \(8^\circ F\)
  • Tyler dice que la temperatura cayó más rápido entre las 4 p.m. y las 6 p.m. 
  • Mai dice que la temperatura cayó más rápido entre las 6 p.m. y las 10 p.m.

¿Con quién estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.

7.2: Cae un poco más

La tabla y la gráfica muestran de forma más completa los cambios de temperatura en el mismo día de invierno. La función \(T\) da la temperatura en grados Fahrenheit, \(h\) horas después del mediodía.
\(h\) \(T(h)\)
0 18
1 19
2 20
3 20
4 25
5 23
6 17
7 15
8 11
9 11
10 8
11 6
12 7
Graph of discrete points, \(x y\) plane, origin \(O\).
  1. Encuentra la tasa de cambio promedio para los siguientes intervalos. Explica o muestra tu razonamiento.
    1. entre el mediodía y la 1 p.m.
    2. entre el mediodía y las 4 p.m.
    3. entre el mediodía y la medianoche
  2. ¿Recuerdas el desacuerdo entre Mai y Tyler? Usa la tasa de cambio promedio para mostrar en cuál de los intervalos de tiempo —de 4 p.m. a 6 p.m. o de 6 p.m. a 10 p.m.— hubo una caída más rápida de la temperatura.


  1. ¿En qué intervalo la temperatura disminuyó más rápido?
  2. ¿En qué intervalo la temperatura aumentó más rápido?

7.3: Poblaciones de dos estados

Las gráficas muestran las poblaciones de California y Texas con el paso del tiempo.

Graph of the populations of two states over time on a coordinate plane. 
    1. Estima la tasa de cambio promedio de la población de cada estado entre 1970 y 2010. Muestra tu razonamiento.
    2. En esta situación, ¿qué significa cada tasa de cambio?
  2. ¿Cuál población creció más rápido entre 1900 y 2000: la de California o la de Texas? Muestra tu razonamiento.

Resumen

Esta es una gráfica de la temperatura de un día como función del tiempo. La temperatura era \(35 ^\circ F\) a las 9 a.m. y \(45 ^\circ F\) a las 2 p.m. Durante esas 5 horas hubo un aumento de \(10^\circ F\).

Graph. Horizontal axis, 9 o’clock to 8 o’clock, time. Vertical axis, 25 to 50 by 5’s, temperature in degrees Fahrenheit. Graph is linear piecewise. Starts at 0 comma 35.

Sin embargo, el aumento no fue constante. La temperatura subió entre las 9 a.m. y las 10 a.m. Luego, se mantuvo igual durante una hora y después subió de nuevo.

  • En promedio, ¿qué tan rápido estaba subiendo la temperatura entre las 9 a.m. y las 2 p.m.?

    Calculemos la tasa de cambio promedio y midamos el cambio de temperatura por cada hora. Para hacerlo, encontramos la diferencia de la temperatura entre las 9 a.m. y las 2 p.m. y la dividimos entre el número de horas de ese intervalo.

    \(\text{tasa de cambio promedio}=\dfrac{45-35}{5}=\dfrac{10}{5}=2\)

    En promedio, la temperatura entre las 9 a.m. y las 2 p.m. aumentó \(2^\circ F\) cada hora.

  • ¿Qué tan rápido estaba bajando la temperatura entre las 2 p.m. y las 8 p.m.?

    \(\text{tasa de cambio promedio}=\dfrac{30-45}{6}=\dfrac{\text-15}{6}=\text-2.5\)

    En promedio, la temperatura entre las 2 p.m. y las 8 p.m. bajó \(2.5 ^\circ F\) cada hora.

En general, podemos calcular la tasa de cambio promedio de una función \(f\), entre los valores de entrada \(a\) y \(b\), dividiendo la diferencia de las entradas entre la diferencia de las salidas.

\(\text{tasa de cambio promedio}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Si los dos puntos de la gráfica de la función son \((a, f(a))\) y \((b, f(b))\), la tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta que une los dos puntos.

Graph of curve. X axis, negative 2 to 4. Y axis, 0 to 3. Curve goes through points a comma f of a and b comma f of b. A dotted line connects the 2 points.

Entradas del glosario

  • creciente (función)

    Una función es creciente si los valores de sus salidas aumentan cuando los valores de las entradas aumentan. Esto se ve reflejado en una gráfica inclinada hacia arriba cuando nos movemos de izquierda a derecha.

    Una función también puede ser creciente solo para un conjunto restringido de entradas. Por ejemplo, la función \(f\) dada por \(f(x) = 3 - x^2\), cuya gráfica se muestra, es creciente para \(x \le 0\) porque la gráfica está inclinada hacia arriba en la región a la izquierda del eje vertical.

  • decreciente (función)

    Una función es decreciente si los valores de sus salidas disminuyen cuando los valores de las entradas aumentan. Esto se ve reflejado en una gráfica inclinada hacia abajo cuando nos movemos de izquierda a derecha.

    Una función también puede ser decreciente solo para un conjunto restringido de entradas. Por ejemplo, la función \(f\) dada por \(f(x) = 3 - x^2\), cuya gráfica se muestra, es decreciente para \(x \ge 0\) porque la gráfica se inclina hacia abajo a la derecha del eje vertical.

  • intersección con el eje horizontal

    Dada una gráfica, su intersección con el eje horizontal es el punto en donde la gráfica cruza el eje horizontal. Si el eje está marcado con la variable \(x\), la intersección con el eje horizontal también se llama la intersección con el eje \(x\).

    El término “intersección con el eje horizontal” a veces se usa para referirse únicamente a la coordenada \(x\) del punto en donde la gráfica cruza el eje horizontal. En la gráfica de \(2x + 4y = 12\), la intersección con el eje horizontal es \((6,0)\), o simplemente 6.

  • intersección con el eje vertical

    Dada una gráfica, su intersección con el eje vertical es el punto en donde la gráfica cruza el eje vertical. Si el eje está marcado con la variable \(y\), la intersección con el eje vertical también se llama la intersección con el eje \(y\).

    El término “intersección con el eje vertical” a veces se usa para referirse únicamente a la coordenada \(y\) del punto en donde la gráfica cruza el eje vertical. En la gráfica de \(y = 3x - 5\), la intersección con el eje horizontal es \((0, -5)\), o simplemente -5.

  • máximo

    Un máximo de una función es un valor de la función que es mayor o igual a todos los otros valores de la función. El máximo de la gráfica de la función es el punto correspondiente que es el más alto en la gráfica.

  • mínimo
    Un mínimo de una función es un valor de la función que es menor o igual a todos los otros valores de la función. El mínimo de la gráfica de la función es el punto correspondiente que es el más bajo en la gráfica.
  • tasa de cambio promedio

    La tasa de cambio promedio de una función \(f\) entre las entradas \(a\) y \(b\) es el cambio en los valores de las salidas dividido entre el cambio en los valores de las entradas: \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Esta tasa es igual a la pendiente de la recta que une los puntos de la gráfica \((a,f(a))\) y \((b, f(b))\) .