Lección 8
Interpretemos y creemos gráficas
- Dibujemos gráficas para representar situaciones.
8.1: Cuál es diferente: Temperatura con el paso del tiempo
¿Cuál gráfica es diferente?
A
B
C
D
8.2: Izada de la bandera (parte 1)
En un evento del 4 de julio se celebra una ceremonia de la bandera. La altura de la bandera es una función del tiempo.
Estas son algunas gráficas. Cada una podría representar la función.
A
B
C
D
E
F
-
- Explica qué nos dice acerca de la bandera cada gráfica que te asignaron.
- Con tu compañero, decide cuál o cuáles gráficas parecen ser más realistas y cuáles menos realistas.
-
Esta es otra gráfica que relaciona el tiempo y la altura.
- ¿Esta gráfica puede representar el tiempo y la altura de la bandera? Explica tu razonamiento.
- ¿Esta gráfica es la gráfica de una función? Explica tu razonamiento.
Supongamos que una hormiga se mueve a una tasa de 1 milímetro por segundo y se sigue moviendo a esa tasa durante mucho tiempo.
Si el tiempo, \(x\), se mide en segundos, entonces la distancia que la hormiga ha recorrido en milímetros, \(y\), es \(y=1x\). Si el tiempo, \(x\), se mide en minutos, la distancia en milímetros es \(y=60x\).
- Explica por qué la ecuación \(y=(365 \boldcdot 24 \boldcdot 3,\!600)x\) da la distancia que la hormiga ha recorrido, en milímetros, como función del tiempo, \(x\), en años.
-
Esta es una gráfica de la ecuación.
- Marca los ejes con las cantidades y unidades adecuadas.
- ¿La gráfica se ve como la gráfica de una función? ¿Por qué crees que se ve de esa forma?
- Cambia el rectángulo de vista hasta que la gráfica no se vea de esa forma. Si lo logras, describe el rectángulo de vista que usaste.
- Observa la última gráfica de la actividad de la bandera. ¿Crees que puede representar una función que relaciona el tiempo y la altura de la bandera? Explica tu razonamiento.
8.3: Izada de la bandera (parte 2)
Tu profesor te mostrará un video de la izada de una bandera. La función \(H\) da la altura de la bandera con el paso del tiempo. La altura se mide en pies. El tiempo se mide en segundos que pasan después de que la bandera se sujeta totalmente a la cuerda, que es cuando comienza el video.
- En el plano de coordenadas, dibuja una gráfica que podría representar la función \(H\). Asegúrate de marcar cada eje y de incluir una escala en cada uno.
- Usa tu gráfica para estimar la tasa de cambio promedio desde el momento en el que la bandera comienza a moverse hasta el momento en el que se detiene. Prepárate para explicar qué nos dice la tasa de cambio promedio acerca de la bandera.
8.4: Dos piscinas
Como preparación para una fiesta en el jardín, una mamá usa dos mangueras idénticas para llenar una piscina pequeña que tiene 15 pulgadas de profundidad y una piscina grande que tiene 27 pulgadas de profundidad.
La altura del agua en cada piscina es una función del tiempo que pasa después de que se abre la llave del agua.
Estas son descripciones de tres situaciones. Para cada situación, dibuja las gráficas de las dos funciones en el mismo plano de coordenadas, de tal manera que \(S(t)\) sea la altura del agua en la piscina pequeña después de \(t\) minutos y \(L(t)\) sea la altura del agua en la piscina grande después de \(t\) minutos.
En ambas funciones, la altura del agua se mide en pulgadas.
- Situación 1: Cada manguera llena una piscina a una tasa constante. Cuando la piscina pequeña está llena, se corta el suministro de agua de esa manguera. La otra manguera sigue llenando la piscina grande hasta que se llena.
- Situación 2: Cada manguera llena una piscina a una tasa constante. Cuando la piscina pequeña se llena, se corta el suministro de agua de ambas mangueras.
- Situación 3: Cada manguera llena una piscina a una tasa constante. Cuando la piscina pequeña se llena, ambas mangueras se usan para llenar la piscina grande hasta que se llena.
8.5: La pelota rebota y rebota
Tu profesor te mostrará uno o más videos de una pelota de tenis que se deja caer. Estas son algunas imágenes fijas de la situación.
La altura de la pelota es una función del tiempo. Supón que la altura es \(h\) pies, \(t\) segundos después de que la pelota se deja caer.
-
Usa el plano de coordenadas dado para dibujar una gráfica de la altura de la pelota de tenis como función del tiempo.
Para ayudarte a empezar, estas son algunas imágenes y una tabla. Antes de dibujar tu gráfica, completa la tabla con tus estimaciones.
0 segundos
0.28 segundos
0.54 segundos
0.74 segundos
1.03 segundos
1.48 segundos
1.88 segundos
2.25 segundos
tiempo
(segundos)altura
(pies)0 0.28 0.54 0.74 1.03 1.48 1.88 2.25 
- Identifica las intersecciones de la gráfica con el eje horizontal y con el eje vertical. Explica qué nos dicen las coordenadas acerca de la pelota de tenis.
- Encuentra el valor máximo y el valor mínimo de la función. Explica qué nos dicen estos valores acerca de la pelota de tenis.
Si solo vieras las imágenes fijas de la pelota y no vieras el video de la pelota que rebota, ¿podrías graficar correctamente la altura de la pelota como función del tiempo? Explica tu razonamiento.
Resumen
Podemos usar gráficas como ayuda para visualizar la relación entre las cantidades de una situación, incluso si solo tenemos una descripción general.
Esta es una descripción del desplazamiento de una excursionista por un sendero:
La excursionista caminó a paso ligero y constante durante unos 30 minutos y luego descansó 10 minutos. Después, corrió hasta el final del sendero, lo que le tomó unos 20 minutos. Allí, descansó 15 minutos. Luego, comenzó a caminar de vuelta sin prisa y se detuvo dos veces a disfrutar del paisaje. Su trayecto de regreso, por el mismo sendero, le tomó 105 minutos.
Podemos dibujar una gráfica de la distancia que la excursionista ha recorrido como función del tiempo basándonos en la descripción anterior.
Aunque no sabemos las distancias específicas que ella recorrió o la longitud del sendero, podemos mostrar en la gráfica algunas características importantes de la situación. Por ejemplo:
- los intervalos en los cuales la distancia aumentó o permaneció constante
- qué tan rápido aumentaba la distancia
- el tiempo total de la caminata
Si pensamos en la distancia al punto de partida (el inicio del sendero) como función del tiempo, la gráfica de la función se vería más o menos así:
La gráfica muestra que la distancia aumentaba a medida que la excursionista se alejaba del punto de partida y que luego disminuía a medida que ella regresaba al punto de partida.
Entradas del glosario
- creciente (función)
Una función es creciente si los valores de sus salidas aumentan cuando los valores de las entradas aumentan. Esto se ve reflejado en una gráfica inclinada hacia arriba cuando nos movemos de izquierda a derecha.
Una función también puede ser creciente solo para un conjunto restringido de entradas. Por ejemplo, la función \(f\) dada por \(f(x) = 3 - x^2\), cuya gráfica se muestra, es creciente para \(x \le 0\) porque la gráfica está inclinada hacia arriba en la región a la izquierda del eje vertical.
- decreciente (función)
Una función es decreciente si los valores de sus salidas disminuyen cuando los valores de las entradas aumentan. Esto se ve reflejado en una gráfica inclinada hacia abajo cuando nos movemos de izquierda a derecha.
Una función también puede ser decreciente solo para un conjunto restringido de entradas. Por ejemplo, la función \(f\) dada por \(f(x) = 3 - x^2\), cuya gráfica se muestra, es decreciente para \(x \ge 0\) porque la gráfica se inclina hacia abajo a la derecha del eje vertical.
- intersección con el eje horizontal
Dada una gráfica, su intersección con el eje horizontal es el punto en donde la gráfica cruza el eje horizontal. Si el eje está marcado con la variable \(x\), la intersección con el eje horizontal también se llama la intersección con el eje \(x\).
El término “intersección con el eje horizontal” a veces se usa para referirse únicamente a la coordenada \(x\) del punto en donde la gráfica cruza el eje horizontal. En la gráfica de \(2x + 4y = 12\), la intersección con el eje horizontal es \((6,0)\), o simplemente 6.
- intersección con el eje vertical
Dada una gráfica, su intersección con el eje vertical es el punto en donde la gráfica cruza el eje vertical. Si el eje está marcado con la variable \(y\), la intersección con el eje vertical también se llama la intersección con el eje \(y\).
El término “intersección con el eje vertical” a veces se usa para referirse únicamente a la coordenada \(y\) del punto en donde la gráfica cruza el eje vertical. En la gráfica de \(y = 3x - 5\), la intersección con el eje horizontal es \((0, -5)\), o simplemente -5.
- máximo
Un máximo de una función es un valor de la función que es mayor o igual a todos los otros valores de la función. El máximo de la gráfica de la función es el punto correspondiente que es el más alto en la gráfica.
- mínimoUn mínimo de una función es un valor de la función que es menor o igual a todos los otros valores de la función. El mínimo de la gráfica de la función es el punto correspondiente que es el más bajo en la gráfica.
- tasa de cambio promedio
La tasa de cambio promedio de una función \(f\) entre las entradas \(a\) y \(b\) es el cambio en los valores de las salidas dividido entre el cambio en los valores de las entradas: \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Esta tasa es igual a la pendiente de la recta que une los puntos de la gráfica \((a,f(a))\) y \((b, f(b))\) .
