Lección 15

Funciones inversas

  • Definamos funciones hacia adelante y hacia atrás.

15.1: ¿Qué dice?

Este es un mensaje codificado, es decir, un mensaje que se transformó en un código.

WRGDB LV D JRRG GDB.

¿Puedes descifrar lo que dice el mensaje en inglés? ¿Cómo crees que se codificó el mensaje?

15.2: César dice que te desplaces

  1. ¡Es tu turno de escribir un código secreto!

    1. Escribe un mensaje corto y amigable en inglés usando 3 o 4 palabras.

    2. Elige un número del 1 al 10. Después, codifica tu mensaje desplazando cada letra ese número de pasos hacia adelante o hacia atrás en el alfabeto (dando la vuelta de Z a A de ser necesario). Puedes usar esta tabla para registrar las reglas de tu codificación.

      texto regular A B C D E F G H  I   J  K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
      texto codificado
    3. Dale tu mensaje codificado a tu compañero para que lo decodifique. Si te lo pide, dale el número que usaste.
    4. Decodifica el mensaje de tu compañero. Pídele el número si lo necesitas.

  2. Imagina que tanto \(m\) como \(c\) representan el número de posición de una letra en el alfabeto, pero \(m\) representa el número de posición de las letras del mensaje original y \(c\) representa el número de posición de las letras del mensaje codificado con tu código secreto.

    1. Completa la tabla.

      letra en el mensaje original
      \(m\) 6 9 19 8
      \(c\)
      letra en el mensaje codificado

    2. Usa \(m\) y \(c\) para escribir una ecuación que se pueda usar para codificar un mensaje con tu código secreto. 

    3. Usa \(m\) y \(c\) para escribir una ecuación que se pueda usar para decodificar tu mensaje secreto y revelar el mensaje original.


En el alfabeto en inglés hay 26 letras, entonces solo los números del 1 al 26 tienen sentido para \(m\) y para \(c\).

  1. Trata de usar la ecuación que escribiste para codificar las letras A, B, Y y Z. ¿Encontraste números de posición, o valores de \(c\), que son menores que 1 o mayores que 26? ¿A qué letras corresponden?

  2. Usa tu ecuación de codificación para graficar los pares de coordenadas \((m, c)\) de todas las letras del alfabeto.

    Horizontal axis, m. Scale, 0 to 26, by 2’s. Vertical axis, c. Scale -10 to 36, by 2’s.
  3. Busca los puntos que tienen valores de \(c\) menores que 1 o mayores que 26. ¿A qué letras deberían corresponder en el código? Grafica los puntos donde deberían estar, de acuerdo a la regla de tu codificación.

  4. ¿Tu última gráfica representa una función definida a trozos? De ser así, ¿puedes describir las distintas reglas que se usan en las distintas partes del dominio de la función?

15.3: Dólares estadounidenses y pesos mexicanos

Para su viaje a México, un viajero estadounidense cambia unos dólares estadounidenses por pesos mexicanos. Le dan 19.32 pesos por cada dólar estadounidense.

Al mismo tiempo, una empresaria mexicana que está en los Estados Unidos cambia pesos mexicanos por dólares estadounidenses a la misma tasa de cambio.

full-frame variety of US dollars and MX pesos

  1. Encuentra la cantidad de dinero en pesos que el viajero estadounidense recibe si cambia:

    1. 100 dólares
    2. 500 dólares
  2. Escribe una ecuación que dé la cantidad de dinero en pesos, \(p\), como función de la cantidad de dólares, \(d\), que se cambian.

  3. Encuentra la cantidad de dinero en dólares que recibe la empresaria mexicana si cambia:

    1. 1,000 pesos
    2. 5,000 pesos
  4. Explica por qué puede ser útil escribir la función inversa de la función que escribiste anteriormente. Después, escribe la ecuación que define la función inversa.

Resumen

A veces es útil “invertir” una función para que las salidas se conviertan en las entradas.

Supongamos que Han vive a 400 metros de la escuela y camina todos los días a la escuela. Una función lineal da la distancia de Han a la escuela, \(D\), en metros, después de haber caminado \(w\) metros desde casa, y está definida por:

\(D= 400 - w\)

Con esta ecuación, si sabemos \(w\), es decir, cuánto ha caminado Han, podemos encontrar con facilidad la distancia \(D\) que le falta para llegar a la escuela. En este caso, \(w\) es la entrada y \(D\) es la salida.

Pero ¿qué hacemos si sabemos la distancia, \(D\), que le falta caminar a Han para llegar a la escuela y queremos saber cuánto ha caminado, \(w\)?

Podemos saberlo si despejamos \(w\):

\(\begin {align} D &= 400 - w\\ D+w &= 400\\ w &=400 - D \end{align}\)

La ecuación \(w=400-D\) representa la función inversa de la función original.

Con esta ecuación, podemos averiguar con facilidad cuánto ha caminado Han desde casa si conocemos la distancia que le falta para llegar a la escuela. En este caso, \(w\) y \(D\) cambiaron de rol: \(w\) es ahora la salida y \(D\) es la entrada.

En general, si una función toma \(a\) como entrada y da \(b\) como su salida, su función inversa toma \(b\) como entrada y da \(a\) como su salida.

Entradas del glosario

  • inversa (función)

    Dos funciones son inversas la una con respecto a la otra cuando sus parejas de entrada-salida están invertidas. Es decir, si una función a la entrada \(a\) le asigna la salida \(b\), entonces la otra función a la entrada \(b\) le asigna la salida \(a\).

    A veces, podemos encontrar una función inversa deshaciendo los procesos que definen la primera función para así definir la segunda función.