Lección 9

Comparemos gráficas

  • Comparemos gráficas de funciones para aprender sobre las situaciones que representan.

9.1: Crecimiento de la población

Esta gráfica muestra las poblaciones de Baltimore y Cleveland de 1900 a 2010. \(B(t)\) es la población de Baltimore en el año \(t\). \(C(t)\) es la población de Cleveland en el año \(t\).

Two functions. year and population.
  1. Estima el valor de \(B(1930)\) y explica qué significa en esta situación.

  2. Estas son parejas de afirmaciones sobre las dos poblaciones. En cada pareja, ¿cuál afirmación es verdadera? Prepárate para explicar cómo lo sabes.

    1. \(B(2000) > C(2000)\) o \(B(2000) < C(2000)\)
    2. \(B(1900) = C(1900)\) o \(B(1900) > C(1900)\)
  3. ¿La población de las dos ciudades fue alguna vez la misma? Si fue así, ¿cuándo?

9.2: ¿Cableado o inalámbrico?

\(H(t)\) es el porcentaje de hogares en los Estados Unidos que tienen un teléfono fijo en el año \(t\). \(C(t)\) es el porcentaje de hogares que solo tienen teléfono celular. Estas son las gráficas de \(H\) y \(C\).

Graph of 2 functions. Blue solid line represents percentage of homes in US with a landline phone in year t. Red dotted line represents the percentage of homes with only a cell phone.
  1. Estima los valores de \(H(2006)\) y \(C(2006)\). Explica qué nos dice cada valor acerca de los teléfonos.
  2. ¿Cuál es la solución aproximada de \(C(t)=20\)? Explica qué significa la solución en esta situación.

  3. En cada caso, determina si la ecuación es verdadera. Prepárate para explicar cómo lo sabes.

    1. \(C(2011) = H(2011)\)
    2. \(C(2015) = H(2015)\)
  4. Entre 2004 y 2015, ¿el porcentaje de hogares que tenían teléfonos fijos disminuyó a la misma tasa a la que aumentó el porcentaje de hogares que solo tenían teléfonos celulares? Explica o muestra tu razonamiento.


  1. Explica por qué la afirmación \(C(t) + H(t) \leq 100\) es verdadera en esta situación.
  2. ¿Qué valor parece tomar \(C(t) + H(t)\) entre 2004 y 2017? ¿Cuánto varía este valor en ese intervalo?

9.3: Audiencia de programas de televisión

El número de personas que vieron un episodio de un programa de televisión es una función del número del episodio de ese programa, según su orden de aparición. Estas son tres gráficas de tres funciones —\(A, B\) y \(C\)— que representan tres programas de televisión diferentes.

Programa A

10 data points on coordinate plane.

Programa B

A graph. 

Programa C

10 data points on coordinate plane.
  1. Empareja cada descripción con una gráfica que podría representar la situación que se describe. Una de las descripciones no tiene una gráfica correspondiente.
    1. Este programa tiene una buena audiencia principal. En el quinto episodio apareció un invitado famoso y esto atrajo nuevos espectadores, pero la mayoría de ellos dejaron de ver el programa después.
    2. Este programa es uno de los más populares y su audiencia sigue aumentando.
    3. Este programa tiene poca audiencia, pero está mejorando y cada vez atrae a más personas.
    4. Este programa comenzó con una gran audiencia. Aunque parece que tuvo una caída de audiencia, aún tiene más espectadores que otro programa.
  2. ¿Cuál es mayor: \(A(7)\), \(B(7)\) o \(C(7)\)? Explica qué nos dice la respuesta acerca de los programas.

  3. Dibuja una gráfica de la audiencia del cuarto programa de televisión (cuya descripción no tenía una gráfica correspondiente).

    A blank graph, with origin O. The horizontal axis, episode number, scale from 0 to 10 by 2s. The vertical axis, audience in millions, scale is 6 units.

9.4: Funciones $f$ y $g$

  1. Estas son gráficas que representan dos funciones: \(f\) y \(g\).

    Para cada entrada dada, decide cuál valor es mayor, si el de \(f\) o el de \(g\). Prepárate para explicar tu razonamiento.

    1. \(f(2)\) o \(g(2)\)
    2. \(f(4)\) o \(g(4)\)
    3. \(f(6)\) o \(g(6)\)
    4. \(f(8)\) o \(g(8)\)
    A graph. 

    ​​​​​

  2. ¿Existe un valor de \(x\) para el cual la ecuación \(f(x)=g(x)\) es verdadera? Explica tu razonamiento.
  3. Identifica al menos dos valores de \(x\) para los que la desigualdad \(f(x) < g(x)\) sea verdadera.

Resumen

Las gráficas son muy útiles para comparar dos o más funciones. Estas son las gráficas de las funciones \(C\) y \(T\), que dan las poblaciones (en millones) de California y Texas, respectivamente, en el año \(x\).

Graph of the populations of two states over time on a coordinate plane. 
¿Qué podemos decir acerca de las poblaciones? ¿Cómo lo sabemos? ¿Cómo lo expresamos con notación de funciones?

A principios de la década de 1900, la población de California era menor que la de Texas.

La gráfica de \(C\) está debajo de la gráfica de \(T\) cuando \(x\) es 1900.

 \(C(1900) < T(1900)\)

Alrededor de 1935, los dos estados tenían la misma población de aproximadamente 5 millones de personas.

Las gráficas se intersecan aproximadamente en \((1935, 5)\).

 \(C(1935) = 5\) y \(T(1935)=5\), y \(C(1935)=T(1935)\)

Después de 1935, la población de California ha sido mayor que la de Texas.

Cuando \(x\) es mayor que 1935, la gráfica de \(C(x)\) está por encima de la de \(T(x)\).

 \(C(x) > T(x)\) para \(x>1935\)

Ambas poblaciones han aumentado con el paso del tiempo, sin periodos de disminución.

Ambas gráficas se inclinan hacia arriba al mirarlas de izquierda a derecha.

De 1900 a 2010, la población de California aumentó más rápido que la de Texas. California tenía una tasa de cambio promedio mayor.

Si dibujamos una recta que una los puntos que corresponden a los años 1900 y 2010 en cada gráfica, la recta de \(C\) tiene una pendiente mayor que la recta de \(T\).
Equation. 

Entradas del glosario

  • creciente (función)

    Una función es creciente si los valores de sus salidas aumentan cuando los valores de las entradas aumentan. Esto se ve reflejado en una gráfica inclinada hacia arriba cuando nos movemos de izquierda a derecha.

    Una función también puede ser creciente solo para un conjunto restringido de entradas. Por ejemplo, la función \(f\) dada por \(f(x) = 3 - x^2\), cuya gráfica se muestra, es creciente para \(x \le 0\) porque la gráfica está inclinada hacia arriba en la región a la izquierda del eje vertical.

  • decreciente (función)

    Una función es decreciente si los valores de sus salidas disminuyen cuando los valores de las entradas aumentan. Esto se ve reflejado en una gráfica inclinada hacia abajo cuando nos movemos de izquierda a derecha.

    Una función también puede ser decreciente solo para un conjunto restringido de entradas. Por ejemplo, la función \(f\) dada por \(f(x) = 3 - x^2\), cuya gráfica se muestra, es decreciente para \(x \ge 0\) porque la gráfica se inclina hacia abajo a la derecha del eje vertical.

  • intersección con el eje horizontal

    Dada una gráfica, su intersección con el eje horizontal es el punto en donde la gráfica cruza el eje horizontal. Si el eje está marcado con la variable \(x\), la intersección con el eje horizontal también se llama la intersección con el eje \(x\).

    El término “intersección con el eje horizontal” a veces se usa para referirse únicamente a la coordenada \(x\) del punto en donde la gráfica cruza el eje horizontal. En la gráfica de \(2x + 4y = 12\), la intersección con el eje horizontal es \((6,0)\), o simplemente 6.

  • intersección con el eje vertical

    Dada una gráfica, su intersección con el eje vertical es el punto en donde la gráfica cruza el eje vertical. Si el eje está marcado con la variable \(y\), la intersección con el eje vertical también se llama la intersección con el eje \(y\).

    El término “intersección con el eje vertical” a veces se usa para referirse únicamente a la coordenada \(y\) del punto en donde la gráfica cruza el eje vertical. En la gráfica de \(y = 3x - 5\), la intersección con el eje horizontal es \((0, -5)\), o simplemente -5.

  • máximo

    Un máximo de una función es un valor de la función que es mayor o igual a todos los otros valores de la función. El máximo de la gráfica de la función es el punto correspondiente que es el más alto en la gráfica.

  • mínimo
    Un mínimo de una función es un valor de la función que es menor o igual a todos los otros valores de la función. El mínimo de la gráfica de la función es el punto correspondiente que es el más bajo en la gráfica.
  • tasa de cambio promedio

    La tasa de cambio promedio de una función \(f\) entre las entradas \(a\) y \(b\) es el cambio en los valores de las salidas dividido entre el cambio en los valores de las entradas: \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Esta tasa es igual a la pendiente de la recta que une los puntos de la gráfica \((a,f(a))\) y \((b, f(b))\) .