Lección 9
Multipliquemos números racionales
Multipliquemos números con signo.
9.1: Antes y después
¿Dónde estaba la joven:
- 5 segundos después de tomarse esta foto? Marca su ubicación aproximada en la foto.
- 5 segundos antes de tomarse esta foto? Marca su ubicación aproximada en la foto.
9.2: Devolverse en el tiempo
Una ingeniera de seguridad vial estaba estudiando patrones de desplazamiento en una autopista. Configuró una cámara y grabó la rapidez y dirección de los automóviles y camiones que pasaban frente a la cámara. Las posiciones al este de la cámara son positivas y al oeste son negativas.
-
Estas son algunas posiciones y tiempos para un automóvil:
posición (pies) -180 -120 -60 0 60 120 tiempo (segundos) -3 -2 -1 0 1 2 - ¿En cuál dirección está viajando este automóvil?
- ¿Cuál es su velocidad?
-
-
¿Qué significa cuando el tiempo es cero?
-
¿Qué puede significar tener un tiempo negativo?
-
-
Estas son las posiciones y tiempos para otro automóvil cuya velocidad es -50 pies por segundo:
posición (pies) 0 -50 -100 tiempo (segundos) -3 -2 -1 0 1 2 - Completa la tabla con el resto de las posiciones.
- ¿En qué dirección está viajando este automóvil? Explica cómo lo sabes.
-
Completa la tabla para varios automóviles que pasan por la cámara.
velocidad
(metros por
segundo)tiempo después
de pasar por
la cámara
(segundos)posición
final
(metros)ecuación automóvil C +25 +10 +250 \(25\boldcdot 10 = 250\) automóvil D -20 +30 automóvil E +32 -40 automóvil F -35 -20 automóvil G -15 -8 -
- Si un automóvil está viajando al este, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
- Si multiplicamos un número positivo y un número negativo, ¿el resultado es positivo o negativo?
-
- Si un automóvil está viajando al oeste, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
- Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?
9.3: A velocidad de crucero
Alrededor del mediodía, un automóvil estaba viajando por una carretera a -32 metros por segundo. Exactamente al mediodía (cuando el tiempo era 0), la posición del automóvil era 0 metros.
-
Completa la tabla.
tiempo (s) -10 -7 -4 -1 2 5 8 11 posición (m) - Grafica la relación entre el tiempo y la posición del automóvil.
- ¿Cuál era la posición del automóvil a los -3 segundos?
- ¿Cuál era la posición del automóvil a los 6.5 segundos?
Halla el valor de estas expresiones sin usar una calculadora.
\((\text-1)^2\)
\((\text-1)^3\)
\((\text-1)^4\)
\((\text-1)^{99}\)
9.4: Cuadrícula de multiplicación de números racionales
- Completa las casillas sombreadas en el cuadro de multiplicación de abajo.
- Observa los patrones a lo largo de las filas y columnas. Continúa esos patrones dentro de las casillas sin sombrear.
- Completa toda la tabla.
- ¿Qué te dice esto sobre la multiplicación con números negativos?
Resumen
Podemos usar números con signo para representar tiempos en relación a un punto escogido en el tiempo. Podemos pensar en esto como cuando iniciamos un cronómetro: los tiempos positivos están después de iniciar el cronómetro y los tiempos negativos son tiempos antes de iniciar el cronómetro.
![](https://cms-im.s3.amazonaws.com/7cZ2dEaCs3HhwBUtSM1mmaZp?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227.5.C2.Image.04_es.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277.5.C2.Image.04_es.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141703Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=5b8d22d75e94abc73470a4062e56e4fad7c070e154f3899cd7ce228279bf6f1a)
Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición positiva. Un positivo multiplicado por un positivo es positivo.
![Number line.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/GyoVbPQ6jySmKjPrk1W5SGqf?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.5.C10.Revised.Image.01.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.5.C10.Revised.Image.01.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141703Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=1af9cf22ec89f31c0c797652f6eb272d02a17a3b906c57fec65edf872a9e5d5b)
Si un automóvil está en posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición negativa. Un negativo multiplicado por un positivo es negativo.
![A number line with three arrows pointing left and a dot.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/q6P2P9EC7DPoZcGR8BAg8Xro?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.5.C10.Revised.Image.02.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.5.C10.Revised.Image.02.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141703Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=0aacc56f11f1887f5d338781085320c50b1f589a2a07b655abf67b6b02f5c73a)
Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición negativa. Un positivo multiplicado por un negativo es negativo.
![A number line with three arrows pointing left and a dot.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/9aDm5KbYMqQJsFdoiwCd5hcf?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.5.C10.Revised.Image.03a.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.5.C10.Revised.Image.03a.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141703Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=25eb6c9d906819c10e7e7629ebd51596a8ca83be2b8434906843a96398edcfff)
Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición positiva. Un negativo multiplicado por un negativo es positivo.
![A number line with an arrow pointing from 15 to 10, another arrow pointing from 10 to 5, another arrow pointing from 5 to 0, and a dot at 10.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/6xL213es3V1cap39aZZCvtnh?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.5.C10.Revised.Image.04.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.5.C10.Revised.Image.04.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141703Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=dfeadf40f253ef973304918ee8c84f255e7102e01ad88be60f20e41c649d2d61)
Esta es otra manera de verlo:
Podemos pensar en \(3\boldcdot 5\) como \(5 + 5 + 5\), que tiene un valor de \(15\).
Podemos pensar en \(3\boldcdot (\text-5)\) como \(\text-5 + \text-5 + \text-5\), lo que tiene un valor de \(\text-15\).
Sabemos que podemos multiplicar números positivos en cualquier orden: \(3\boldcdot 5=5\boldcdot 3\)
Si podemos multiplicar números con signo en cualquier orden, entonces \(\text-5\boldcdot 3\) también sería iqual -15.
Ahora consideremos multiplicar dos números negativos.
Podemos calcular \(\text-5\boldcdot (3+\text-3)\) de dos maneras:
- Aplicar la propiedad distributiva:
\(\text-5\boldcdot 3 + \text-5 \boldcdot (\text-3)\)
- Sumar los números entre paréntesis:
\(\text-5\boldcdot (0) = 0\)
Esto quiere decir que estas expresiones debe ser iqual.
\(\text-5\boldcdot 3 + \text-5\boldcdot (\text-3) = 0\)
Multiplicar los primeros dos números resulta en:
\(\text-15 + \text-5\boldcdot (\text-3) = 0\)
Así que:
\( \text-5\boldcdot (\text-3) = 15\)
Estos números específicos no tenían nada de especial. ¡Esto siempre funciona!
- Un positivo multiplicado por un positivo siempre es positivo.
- Un negativo multiplicado por un positivo o un positivo multiplicado por un negativo siempre es negativo.
- Un negativo multiplicado por un negativo siempre es positivo.