Lección 3

Retomemos las relaciones proporcionales

Utilicemos las constantes de proporcionalidad para resolver más problemas.

3.1: Razones en una receta

Una receta requiere \(\frac12\) taza de azúcar y 1 taza de harina. Completa la tabla para mostrar cuánta azúcar y harina se debe usar para distintos números de tandas de la receta.

azúcar (tazas) harina (tazas)
\(\frac12\) 1
\(\frac34\)  
  \(1\frac34\)
1  
  \(2\frac12\)

 

3.2: El precio de la cuerda

Dos estudiantes están resolviendo el mismo problema: en una ferretería se puede cortar una cuerda de un rollo grande, así que se puede comprar cualquier longitud que se desee. El costo por 6 pies de cuerda es de $7.50. ¿Cuánto pagarías por 50 pies de cuerda a esta tasa?

  1. Kiran sabe que puede resolver el problema de esta manera.

    ¿Cuál sería la respuesta de Kiran?

  2. Kiran quiere saber si hay una manera más eficiente de resolver el problema. Priya dice que puede resolver el problema con solo 2 filas en la tabla.

    longitud de la cuerda (pies) precio de la cuerda (dólares)
    6 7.50
    50  

    ¿Cuál crees que es el método de Priya?

3.3: Natación, fabricación y pintura

  1. Tyler nada a una rapidez constante, 5 metros cada 4 segundos. ¿Cuánto tiempo tarda en nadar 114 metros?

    distancia (metros) tiempo (segundos)
    5 4
    114  
  2. Una fábrica produce 3 botellas de agua con gas por cada 8 botellas de agua corriente. ¿Cuántas botellas de agua con gas produce la empresa cuando produce 600 botellas de agua corriente?

    cantidad de botellas de agua con gas cantidad de botellas de agua corriente
       
       
  3. Un cierto tono de pintura azul claro se hace mezclando \(1\frac12\) cuartos de galón de pintura azul con 5 cuartos de galón de pintura blanca. ¿Cuánta pintura blanca necesitarías mezclar con 4 cuartos de galón de pintura azul?

     

  4. Para cada una de las tres situaciones anteriores, escribe una ecuación para representar la relación proporcional.



Distintas señales nerviosas viajan a distintas rapideces.

  • Las señales de presión y del tacto viajan a unos 250 pies por segundo.
  • Las señales de dolor leve viajan aproximadamente a 2 pies por segundo.
  1. ¿Cuánto tiempo te lleva sentir una hormiga que está subiendo por tu pie?
  2. ¿Cuánto tiempo más tardas en sentir un dolor leve en el pie?

3.4: Fin de la carrera y más jugo de naranja

  1. Lin corre \(2\frac34\) millas en \(\frac25\) de una hora. Tyler corre \(8\frac23\) millas en \(\frac43\) de una hora. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en correr 10 millas a esa tasa?

  2. Priya mezcla \(2\frac12\) tazas de agua con \(\frac13\) tazas de concentrado de jugo de naranja. Diego mezcla \(1\frac23\) tazas de agua con \(\frac14\) tazas de concentrado de jugo de naranja. ¿Cuánto concentrado debería mezclar cada uno con 100 tazas de agua para hacer un jugo que tenga el mismo sabor que el de su receta original? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen

Si identificamos dos cantidades en un problema y una es proporcional a la otra, entonces podemos calcular la constante de proporcionalidad y usarla para responder otras preguntas sobre la situación. Por ejemplo, Andre corre a una velocidad constante, 5 metros cada 2 segundos. ¿Cuánto tiempo tarda en correr 91 metros a esta tasa?

En este problema, hay dos cantidades, tiempo (en segundos) y distancia (en metros). Como Andre está corriendo a una rapidez constante, el tiempo es proporcional a la distancia. Podemos hacer una tabla con la distancia y el tiempo como encabezados de columna y completar la información dada. 

distancia (metros) tiempo (segundos)
5 2
91  

Para encontrar el valor en la columna de la derecha, multiplicamos el valor en la columna de la izquierda por \(\frac25\) porque \(\frac25 \boldcdot 5 = 2\). Esto significa que Andre tarda \(\frac25\) de segundo en correr un metro.

A esta tasa, Andre tardaría \(\frac25 \boldcdot 91 = \frac{182}{5}\), o 36.4 segundos en correr 91 metros. En general, si \(t\) es el tiempo que se tarda en correr \(d\) metros a ese ritmo, entonces \(t = \frac25 d\).

Entradas del glosario

  • porcentaje

    Un porcentaje es una tasa por cada 100.

    Por ejemplo, una pecera puede contener 36 litros. En este momento solo hay 27 litros en la pecera. El porcentaje de la pecera que está lleno es 75%.

  • tasa unitaria

    Una tasa unitaria es una tasa por cada 1.

    Por ejemplo, 12 personas comparten 2 tartas de manera equitativa. Una tasa unitaria es 6 personas por cada tarta, porque \(12 \div 2 = 6\). La otra tasa unitaria es \(\frac16\) de tarta por cada persona, porque \(2 \div 12 = \frac16\).