Lección 4

La mitad de eso de nuevo

Usemos fracciones para describir aumentos y disminuciones.

4.1: Observa y pregúntate: diagramas de cinta

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

2 tape diagrams.

4.2: Caminar la mitad de nuevo

  1. Completa la tabla para mostrar la distancia total que se caminó en cada caso.

    1. La tortuga de Jada caminó 10 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
    2. El hermano bebé de Jada caminó 3 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
    3. El hamster de Jada caminó 4.5 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo. 
    4. El robot de Jada caminó 1 pie y luego la mitad de esa longitud de nuevo. 
    5. Una persona caminó \(x\) pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo. 
    distancia inicial distancia total
    10  
    3  
    4.5  
    1  
    \(x\)  
  2. Explica cómo calculaste la distancia total en cada caso.
  3. Dos estudiantes escribieron cada uno una ecuación para representar la relación entre la distancia inicial que se caminó (\(x\)) y la distancia total que se caminó (\(y\)).

    • Mai escribió \(y = x + \frac12 x\).
    • Kiran escribió \(y = \frac32x\).

    ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.



Zenón saltó 8 metros. Luego, saltó la mitad de esa distancia de nuevo (4 metros). Luego, saltó la mitad de eso otra vez (2 metros). Entonces, después de tres saltos, él estaba a \(8 + 4 + 2 = 14\) metros del lugar en el que empezó.

  1. Zenón siguió saltando cada vez la mitad de nuevo. ¿Qué tan lejos estaría después de 4 saltos?, ¿5 saltos?, ¿6 saltos?
  2. Antes de empezar a saltar, Zenón hizo una marca en el piso exactamente a 16 metros del lugar donde empezó a saltar. ¿Qué tan cerca de la marca puede llegar Zenón si continúa saltando cada vez la mitad de nuevo? (Considera investigar sobre la paradoja de Zenón).

4.3: Más y menos

  1. Empareja cada situación con un diagrama. Es posible que un diagrama no tenga pareja.

    Two tape diagrams of equal size. Top diagram, 4 parts, 3 blue, total x, 1 part white. Bottom diagram, solid yellow, y.
    Two tape diagrams of equal length.  Top diagram, 5 parts, 3 blue, total x, 2 white. Bottom diagram, solid yellow, y.
    Two tape diagrams. Top diagram, 3 parts total x. Bottom diagram the same size as two parts above, solid, y.
    Two tape diagrams. Top diagram, 3 parts, total x. Bottom diagram same size as one part above, solid, y.
    • Han comió \(x\) onzas de arándanos. Mai comió \(\frac13\) menos que eso.
    • Mai montó en bicicleta \(x\) millas. Han montó en bicicleta \(\frac23\) más que eso.
    • Han compró \(x\) libras de manzanas. Mai compró \(\frac23\) de eso.
  2. Para cada diagrama, escribe una ecuación que represente la relación entre \(x\)\(y\).
    1. Diagrama A:
    2. Diagrama B:
    3. Diagrama C:
    4. Diagrama D:
  3. Escribe una historia para uno de los diagramas que no tiene pareja.

4.4: Clasificación de tarjetas: representaciones de relaciones proporcionales

Tu profesor te dará un juego de tarjetas que tienen relaciones proporcionales representadas de 3 maneras diferentes: descripciones, ecuaciones y tablas. Mezcla las tarjetas y ponlas boca arriba.

  1. Túrnate con un compañero para emparejar una descripción con una ecuación y una tabla.
    1. Para cada grupo de 3 que encuentres, explica a tu compañero cómo sabes que las tarjetas corresponden.
    2. Para cada grupo de 3 que tu compañero encuentre, escucha con atención su explicación y si estás en desacuerdo, explícale tu razonamiento.
  2. Cuando estén de acuerdo con todos los grupos de 3, verifiquen sus respuestas con la hoja de respuestas. Si hay errores, discutan por qué y revisen sus respuestas.

Resumen

Usar la propiedad distributiva hace más corto el proceso de calcular la cantidad total en situaciones que involucran sumar o restar una fracción de la cantidad original. 

Por ejemplo, un día Clare corre 4 millas. El siguiente día, ella planea correr la misma distancia más la mitad de nuevo. ¿Qué tan lejos planea correr el siguiente día?

Tape diagram. One longer section labeled 4. A shorter section labeled \(1\over2\) times 4. The entire tape diagram labeled 1\(1\over2\) times 4.

Mañana ella correrá 4 millas más \(\frac12\) de 4 millas. Podemos usar la propiedad distributiva para encontrar esto en un solo paso: \(1 \boldcdot 4 + \frac{1}{2} \boldcdot 4 = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \boldcdot 4\)

Clare planea correr \(1\frac12\boldcdot 4\) o 6 millas.

Esto también funciona cuando disminuimos por una fracción. Si Tyler gastó \(x\) dólares en una camiseta nueva y Noah gastó \(\frac{1}{3}\) menos que Tyler, entonces Noah gastó \(\frac{2}{3}x\) dólares pues \(x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x\).

Entradas del glosario

  • diagrama de cinta

    Un diagrama de cinta es un una colección de rectángulos que se unen para representar una relación entre cantidades.

    Por ejemplo, este diagrama de cinta muestra una razón de 30 galones de pintura amarilla a 50 galones de pintura azul.

    tape diagrams

    Si cada rectángulo se marcara con 5, en vez de 10, entonces la misma imagen podría representar la razón equivalente de 15 galones de pintura amarilla a 25 galones de pintura azul.

  • porcentaje

    Un porcentaje es una tasa por cada 100.

    Por ejemplo, una pecera puede contener 36 litros. En este momento solo hay 27 litros en la pecera. El porcentaje de la pecera que está lleno es 75%.

  • tasa unitaria

    Una tasa unitaria es una tasa por cada 1.

    Por ejemplo, 12 personas comparten 2 tartas de manera equitativa. Una tasa unitaria es 6 personas por cada tarta, porque \(12 \div 2 = 6\). La otra tasa unitaria es \(\frac16\) de tarta por cada persona, porque \(2 \div 12 = \frac16\).