Lección 16
Rectas paralelas y los ángulos de un triángulo
Veamos por qué los ángulos de un triángulo suman 180 grados.
16.1: Verdadero o falso: relaciones de cálculo
¿Cada ecuación es verdadera o falsa?
\(62-28= 60-30\)
\(3\boldcdot \text{-}8= (2\boldcdot \text{-}8) - 8\)
16.2: Un ángulo más otros dos
Este es el triángulo \(ABC\).
![Triangle A B C in a grid.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/VCu7BxVrjQ62iC6cAvNHMfWn?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.D3.Image.01.1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.D3.Image.01.1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240718%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240718T015242Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=0b2aca1fc0dd92cf82a6db68d551ab7cec6832dcb3848a767bb9e4542bae08e9)
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Rota el triángulo \(ABC\) \(180^\circ\) alrededor del punto medio del lado \(AC\). Marca el nuevo vértice \(D\).
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Rota el triángulo \(ABC\) \(180^\circ\) alrededor del punto medio del lado \(AB\). Marca el nuevo vértice \(E\).
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Observa los ángulos \(EAB\), \(BAC\) y \(CAD\). Sin medir, escribe cuál crees que es la suma de las medidas de estos ángulos. Explica o muestra tu razonamiento.
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¿La medida del ángulo \(EAB\) es igual a la medida de algún ángulo del triángulo \(ABC\)? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?
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¿La medida del ángulo \(CAD\) es igual a la medida de algún ángulo del triángulo \(ABC\)? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?
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¿Cuánto suman las medidas de los ángulos \(ABC\), \(BAC\) y \(ACB\)?
16.3: Todos los triángulos del mundo
Este es \(\triangle ABC\). El segmento de recta \(DE\) es paralelo al segmento de recta \(AC\).
![2 lines and a triangle.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/xGRSt8NUrYsLDTzAhYKZ6mqq?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.D3.Image.03.5.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.D3.Image.03.5.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240718%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240718T015242Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=65d3ade42a8f45e9fc8964afc9fa0e050fcf568ca0eb05de4bb922d50f905546)
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¿A qué equivale \(m{\angle DBA} + b + m{\angle CBE}\)? Explica cómo lo sabes.
- Utiliza tu respuesta para explicar por qué \(a + b + c = 180\).
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Explica por qué tu argumento funcionará para cualquier triángulo: es decir, explica por qué la suma de las medidas de los ángulos en cualquier triángulo es \(180^\circ\).
- Usando una regla, crea algunos cuadriláteros. Utiliza un transportador para medir los cuatro ángulos al interior del cuadrilátero. ¿Cuál es la suma de las medidas de estos cuatro ángulos?
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Inventa una explicación de por qué algo que observas debe ser cierto (pista: dibuja una diagonal en cada cuadrilátero).
16.4: Retomemos los cuatro triángulos
Este diagrama muestra un cuadrado \(BDFH\) que se ha formado por las imágenes del triángulo \(ABC\) por medio de transformaciones rígidas.
![Quadrilateral B D F H.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/n5ZFufTTfhpWbKZCiSwEsFtp?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.D3.Image.08.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.D3.Image.08.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240718%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240718T015242Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=fff806c9c089a39a214eadda72e2eb55dee4a91aea51a14d0bb811b939d586ce)
Resumen
Al utilizar rectas paralelas y rotaciones podemos comprender por qué los ángulos de un triángulo siempre suman \(180^\circ\). Este es el triángulo \(ABC\). La recta \(DE\) es paralela a \(AC\) y contiene a \(B\).
![A line segment and triangle.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/cKBqE92BjvVP7EpnFygFAe84?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.D3.Image.07.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.D3.Image.07.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240718%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240718T015242Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=a1ac43efa6460a951eb534df916e2440cde7e32e254f5994cccedd67e87a1bcf)
Una rotación de 180 grados del triángulo \(ABC\) alrededor del punto medio de \(AB\) intercambia los ángulos \(A\) y \(DBA\), por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como \(x^\circ\). Una rotación de 180 grados del triángulo \(ABC\) alrededor del punto medio de \(BC\) intercambia los ángulos \(C\) y \(CBE\), por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como \(z^\circ\). Además, \(DBE\) es una línea recta porque las rotaciones de 180 grados llevan rectas a rectas paralelas. Entonces los tres ángulos con vértice \(B\) forman una recta y suman \(180^\circ\) (\(x + y + z = 180\)). Pero \(x, y, z\) son las medidas de los tres ángulos de \(\triangle ABC\), así que ¡la suma de los ángulos de un triángulo siempre es \(180^\circ\)!
Entradas del glosario
- ángulo llano
Un ángulo llano es un ángulo que forma una línea recta. Su medida es 180 grados.
- ángulos alternos internos
Los ángulos alternos internos se crean cuando una recta (llamada una transversal) cruza a dos rectas paralelas. Los ángulos alternos internos están en la franja que se forma entre las dos rectas paralelas y en lados opuestos de la transversal.
Este diagrama muestra dos pares de ángulos alternos internos. Los ángulos \(a\) y \(d\) son un par, y los ángulos \(b\) y \(c\) son otro.
- transversal
Una transversal es una recta que cruza dos rectas paralelas.
Este diagrama muestra una recta transversal, \(k\), que cruza a dos rectas paralelas, \(m\) y \(\ell\).