Lección 16

¿Cada ecuación es verdadera o falsa?

\(62-28= 60-30\)

\(3\boldcdot \text{-}8= (2\boldcdot \text{-}8) - 8\)

Este es el triángulo \(ABC\).

1. Rota el triángulo \(ABC\) \(180^\circ\) alrededor del punto medio del lado \(AC\). Marca el nuevo vértice \(D\).

2. Rota el triángulo \(ABC\) \(180^\circ\) alrededor del punto medio del lado \(AB\). Marca el nuevo vértice \(E\).

3. Observa los ángulos \(EAB\), \(BAC\) y \(CAD\). Sin medir, escribe cuál crees que es la suma de las medidas de estos ángulos. Explica o muestra tu razonamiento.

4. ¿La medida del ángulo \(EAB\) es igual a la medida de algún ángulo del triángulo \(ABC\)? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?

5. ¿La medida del ángulo \(CAD\) es igual a la medida de algún ángulo del triángulo \(ABC\)? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?

6. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos \(ABC\), \(BAC\) y \(ACB\)? 

Este es \(\triangle ABC\). El segmento de recta \(DE\) es paralelo al segmento de recta \(AC\).

1. ¿A qué equivale \(m{\angle DBA} + b + m{\angle CBE}\)? Explica cómo lo sabes.

2. Utiliza tu respuesta para explicar por qué \(a + b + c = 180\).

3. Explica por qué tu argumento funcionará para cualquier triángulo: es decir, explica por qué la suma de las medidas de los ángulos en cualquier triángulo es \(180^\circ\).

Este diagrama muestra un cuadrado \(BDFH\) que se ha formado por las imágenes del triángulo \(ABC\) por medio de transformaciones rígidas.

Al utilizar rectas paralelas y rotaciones podemos comprender por qué los ángulos de un triángulo siempre suman \(180^\circ\). Este es el triángulo \(ABC\). La recta \(DE\) es paralela a \(AC\) y contiene a \(B\).

Una rotación de 180 grados del triángulo \(ABC\) alrededor del punto medio de \(AB\) intercambia los ángulos \(A\) y \(DBA\), por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como \(x^\circ\). Una rotación de 180 grados del triángulo \(ABC\) alrededor del punto medio de \(BC\) intercambia los ángulos \(C\) y \(CBE\), por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como \(z^\circ\). Además, \(DBE\) es una línea recta porque las rotaciones de 180 grados llevan rectas a rectas paralelas. Entonces los tres ángulos con vértice \(B\) forman una recta y suman \(180^\circ\) (\(x + y + z = 180\)). Pero \(x, y, z\) son las medidas de los tres ángulos de \(\triangle ABC\), así que ¡la suma de los ángulos de un triángulo siempre es \(180^\circ\)!