Lección 9

Para cada diagrama, describe la traslación, rotación o reflexión que lleva la recta \(\ell\) a la recta \(\ell’\). Luego ubica y etiqueta \(A'\) y \(B'\), las imágenes de \(A\) y \(B\).

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Usen una hoja de papel de calcar para trazar las rectas \(a\) y \(b\) y el punto \(K\). Luego, usen papel de calcar para dibujar las imágenes de las rectas al realizar estas tres transformaciones distintas de la lista.

Mientras realizan cada transformación, piensen en la pregunta:

¿Cuál es la imagen de dos rectas paralelas al realizar una transformación rígida?

1. Trasladen las rectas \(a\) y \(b\) 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha.

   1. ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas \(a\) y \(b\) luego de la traslación?
   2. ¿Qué tienen en común la original y la imagen?

2. Roten las rectas \(a\) y \(b\) en sentido contrario a las manecillas del reloj 180 grados usando \(K\) como centro de rotación.

   1. ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas \(a\) y \(b\) luego de la rotación?
   2. ¿Qué tienen en común la original y la imagen?
3. Reflejen las rectas \(a\) y \(b\) con respecto a la recta \(h\).
   1. ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas \(a\) y \(b\) luego de la reflexión?
   2. ¿Qué tienen en común la original y la imagen?

1. El diagrama muestra una recta con puntos etiquetados \(A\), \(C\), \(D\) y \(B\). 

   1. En el diagrama, dibuja la imagen de la recta y los puntos \(A\), \(C\) y \(B\), luego de que la recta se haya rotado 180 grados alrededor del punto \(D\).

   2. Etiqueta las imágenes de los puntos \(A'\), \(B'\) y \(C'\).

   3. ¿Cuál es el orden de los siete puntos? Explica o muestra tu razonamiento.

   

   

2. El diagrama muestra una recta con puntos \(A\) y \(C\) sobre la recta y un segmento \(AD\), en donde \(D\) no está en la recta.

   1. Rota la figura 180 grados alrededor del punto \(C\). Etiqueta la imagen de \(A\) con \(A'\) y la imagen de \(D\) con \(D'\).

   2. ¿Qué sabemos sobre la relación entre el ángulo \(CAD\) y el ángulo \(CA'D'\)? Explica o muestra tu razonamiento.

   

   

3. El diagrama muestra dos rectas \(\ell\) y \(m\) que se intersecan en un punto \(O\), con el punto \(A\) sobre \(\ell\) y el punto \(D\) sobre \(m\).

   1. Rota la figura 180 grados alrededor de \(O\). Etiqueta la imagen de \(A\) con \(A'\) y la imagen de \(D\) con \(D'\).

   2. ¿Qué sabes acerca de la relación entre los ángulos en la figura? Explica o muestra tu razonamiento.

   

   

Las transformaciones rígidas tienen las siguientes propiedades:

• Una transformación rígida de una recta es una recta.

• Una transformación rígida de dos rectas paralelas da como resultado dos rectas paralelas que están a la misma distancia que las originales.

• Algunas veces, una transformación rígida lleva una recta a sí misma. Por ejemplo:

  

  

  • Una traslación paralela a la recta. La flecha muestra una traslación de la recta \(m\) que llevará \(m\) a sí misma.

  • Una rotación de \(180^\circ\) alrededor del punto \(F\) llevará \(m\) a sí misma.

  • Una reflexión con respecto a cualquier recta perpendicular a la recta. Una reflexión de la recta \(m\) con respecto a la recta punteada llevará \(m\) a sí misma.

Estos hechos nos permiten sacar una conclusión importante. Si dos rectas se intersecan en un punto, que llamaremos \(O\), entonces una rotación de \(180^\circ\) de las rectas con centro \(O\) muestra que los ángulos opuestos son congruentes. Este es un ejemplo:

Rotar ambas rectas \(180^\circ\) alrededor de \(O\) lleva el ángulo \(AOC\) al ángulo \(A'OC'\), lo que demuestra que tienen la misma medida. La rotación también lleva el ángulo \(AOC'\) al ángulo \(A'OC\).