Lección 3

Las figuras A, B, C, y D muestran el resultado de simplificar el colgador de la figura A, al quitar pesos iguales de cada lado.

Estas son algunas ecuaciones. Cada ecuación representa uno de los diagramas de colgador.

\(\displaystyle 2(x + 3y) = 4x + 2y\) \(\displaystyle 2y = x\) \(\displaystyle 2(x + 3y) + 2z = 2z + 4x + 2y\) \(\displaystyle x + 3y = 2x + y\)

1. Escribe la ecuación que corresponda con cada figura:
   A:
   B:
   C:
   D:

2. Cada variable (\(x\), \(y\), y \(z\)) representa el peso de una figura. ¿Cuál corresponde con cuál?
3. Explica qué se hizo a cada ecuación para generar la siguiente. Si tienes dificultades, piensa en cómo cambiaron los colgadores.

Su profesor les entregará algunas tarjetas. Cada una de las tarjetas numeradas del 1 al 6 muestra dos ecuaciones. Cada una de las tarjetas marcadas con las letras de la A a la E describe una movida que convierte una ecuación en otra.

1. Emparejen cada tarjeta numerada con una tarjeta que tenga una letra.
2. Una de las tarjetas con letra no tiene pareja. Para esta tarjeta, escriban dos ecuaciones que muestren la movida descrita.

1. Noah y Lin resolvieron la ecuación \(14a=2(a-3)\).

   ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? ¿Por qué?

   Solución de Noah:

   \(\begin{align*} 14a&=2(a-3) \\ 14a&=2a-6 \\ 12a&=\text-6 \\ a&=\text-\frac12 \\ \end{align*}\)

   Solución de Lin:

   \(\begin{align} 14a&=2(a-3) \\ 7a&=a-3\\ 6a&=\text-3\\a&=\text-\frac12 \end{align}\)

2. Se le pide a Elena que resuelva \(15 - 10x = 5(x + 9)\). ¿Qué le recomiendas que haga primero a cada lado?
3. Se le pide a Diego que resuelva\(3x -8 = 4(x + 5)\). ¿Qué le recomiendas que haga primero a cada lado?

Una ecuación nos dice que dos expresiones tienen el mismo valor. Por ejemplo, si \(4x+9\) y \(\text-2x-3\) tienen el mismo valor, podemos escribir la ecuación

\(\displaystyle 4x + 9 = \text-2x - 3\)

Anteriormente usamos colgadores para comprender que, si sumamos números positivos en cada lado de la ecuación, los lados seguirán teniendo el mismo valor. ¡También funciona si sumamos números negativos! Por ejemplo, podemos sumar -9 a cada lado de la ecuación.

\(\begin{align} 4x+9+\text-9 &= \text-2x-3+\text-9 &&\text{se suma \(\text-9\) a cada lado}\\ 4x &= \text-2x-12 && \text{se agrupan términos semejantes} \end{align}\)

Podemos sumar expresiones a cada lado de una ecuación porque las expresiones representan números. Por ejemplo, podemos sumar \(2x\) a cada lado de la ecuación y seguir manteniendo la igualdad.

\(\begin{align} 4x+2x &= \text-2x-12 +2x && \text{se suma \(2x\) a cada lado} \\ 6x &= \text-12 && \text{se agrupan términos semejantes} \end{align}\)

Si multiplicamos o dividimos las expresiones en cada lado de una ecuación por el mismo número, seguiremos manteniendo la igualdad (siempre y cuando no dividamos entre cero).

\(\begin{align} 6x\boldcdot \frac16=\text-12\boldcdot \frac16 && \text{se multiplica cada lado por }\frac16 \end{align}\)

o

\(\begin{align} 6x\div6=\text-12\div6 && \text{se divide cada lado entre 6} \end{align}\)

Con esto vemos que \(x = \text-2\) es la solución de nuestra ecuación.

Usaremos estas movidas de manera sistemática para resolver ecuaciones en lecciones posteriores.