Lección 13

Usa las rectas para decidir si cada afirmación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento con base en las rectas.

1. Una solución a \(8=\text-x+10\) es 2.
2. Una solución a \(2=2x+4\) es 8.
3. Una solución a \(\text-x+10=2x+4\) es 8.
4. Una solución a \(\text-x+10=2x+4\) es 2.
5. No hay valores de \(x\) y de \(y\) que hagan que \(y=\text-x+10\) y \(y=2x+4\) sean verdaderas al mismo tiempo.

Estos son tres sistemas de ecuaciones graficados en un plano de coordenadas:

1. Asocia cada figura con uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.

   1. \(\begin{cases} y=3x+5\\ y=\text-2x+20 \end{cases}\)

   2. \(\begin{cases} y=2x-10\\ y=4x-1 \end{cases}\)

   3. \(\begin{cases} y=0.5x+12\\ y=2x+27 \end{cases}\)

2. Encuentra la solución para cada sistema de ecuaciones y comprueba que tu solución es coherente con la gráfica.

Su profesor les dará una hoja que tiene algunos sistemas de ecuaciones.

1. Grafiquen cada sistema de ecuaciones con cuidado en el plano de coordenadas respectivo.

2. Describan cómo se ve la gráfica de un sistema de ecuaciones cuando tiene . . .
   1. 1 solución
       
   2. 0 soluciones
       
   3. infinitas soluciones
       

A veces es más fácil resolver un sistema de ecuaciones sin tener que representar gráficamente las ecuaciones y buscar un punto de intersección. En general, cuando resolvemos un sistema de ecuaciones que se escribe como:

\(\displaystyle \begin{cases} y = \text{[alguna cosa]}\\ y = \text{[alguna otra cosa]} \end{cases}\)

sabemos que estamos buscando una pareja de valores \((x,y)\) que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. En particular, sabemos que el valor de \(y\) será igual para ambas ecuaciones. Esto significa que:

\(\displaystyle \text{[alguna cosa]} = \text{[alguna otra cosa]}\)

Por ejemplo, considera el siguiente sistema de ecuaciones:

\(\displaystyle \begin{cases} y = 2x + 6 \\ y = \text-3x - 4 \end{cases}\)

Como el valor de \(y\) en la solución es el mismo para ambas ecuaciones, entonces sabemos que \(\displaystyle 2x + 6 = \text-3x -4\)

Podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de \(x\):

\(\begin{align} 2x+6 &= \text-3x-4&& \\ 5x+6 &=\text-4\ &&\text{se suma \(3x\) a cada lado}\\ 5x &=\text-10\ &&\text{se resta 6 de cada lado}\\ x &=\text-2\ &&\text{se divide cada lado entre 5}\ \end{align}\)

Pero esto es solo la mitad de lo que estamos buscando: sabemos el valor de \(x\), pero necesitamos el valor de \(y\). Como ambas ecuaciones tienen el mismo valor de \(y\), podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar ese valor:

\(\displaystyle y = 2(\text-2) + 6\)

O

\(\displaystyle y = \text-3(\text-2) -4\)

En general, un sistema de ecuaciones lineales puede tener:

• Ninguna solución. En este caso, las rectas que corresponden a cada ecuación nunca se intersecan.
• Exactamente una solución. Las rectas que corresponden a cada ecuación se intersecan exactamente en un punto.
• Un número infinito de soluciones. ¡Las gráficas de las dos ecuaciones son la misma recta!