Lección 14
Resolvamos más sistemas
Resolvamos sistemas de ecuaciones.
14.1: Conversación algebraica: resolvamos sistemas mentalmente
Resuelve mentalmente cada sistema, sin escribir nada:
\(\displaystyle \begin{cases} x=5\\ y=x-7 \end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases} y=4\\ y=x+3 \end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases} x=8\\ y=\text-11 \end{cases}\)
14.2: Acepta el reto
Estos son muchos sistemas de ecuaciones:
A \(\begin{cases} y= 4 \\ x=\text-5y+6 \end{cases}\)
B \(\begin{cases} y= 7 \\ x=3y-4 \end{cases}\)
C \(\begin{cases} y= \frac{3}{2}x+7 \\ x=\text-4 \end{cases}\)
D \(\begin{cases} y= \text-3x+10 \\ y=\text-2x+6 \end{cases}\)
E \(\begin{cases} y= \text-3x-5 \\ y=4x+30 \end{cases}\)
F \(\begin{cases} y= 3x-2 \\ y=\text-2x+8 \end{cases}\)
G \(\begin{cases} y= 3x \\ x=\text-2y+56 \end{cases}\)
H \(\begin{cases} x=2y-15 \\ y= \text-2x \end{cases}\)
I \(\begin{cases} 3x+4y=10 \\ x=2y \end{cases}\)
J \(\begin{cases} y= 3x+2 \\ 2x+y = 47 \end{cases}\)
K \(\begin{cases} y= \text-2x+5 \\ 2x+3y = 31 \end{cases}\)
L \(\begin{cases} x+y=10 \\ x=2y +1 \end{cases}\)
- Sin resolverlos, identifica 3 sistemas que creas que serían los menos difíciles de resolver y 3 sistemas que serían los más difíciles de resolver. Prepárate para explicar tu razonamiento.
- Elige 4 sistemas para resolver. Al menos uno debe ser de tu lista de "menos difíciles" y otro debe ser de tu lista de "más difíciles".
14.3: Cinco no es igual a siete
Tyler estaba mirando este sistema de ecuaciones:
\(\displaystyle \begin{cases} x + y = 5\\x + y = 7 \end{cases}\)
Él dijo, "Con solo mirar el sistema, puedo ver que no tiene solución. Si sumas dos números, esa suma no puede ser igual a dos números diferentes".
¿Estás de acuerdo con Tyler?
En el rectángulo \(ABCD\), el lado \(AB\) mide 8 centímetros y el lado \(BC\) mide 6 centímetros. \(F\) es un punto en \(BC\) y \(E\) es un punto en \(AB\). El área del triángulo \(DFC\) es 20 centímetros cuadrados y el área del triángulo \(DEF\) es 16 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el área del triángulo \(AED\)?
Resumen
Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales y una de ellas es de la forma \(y=\text{[alguna cosa]}\) o \(x=\text{[alguna cosa]}\), podemos resolverlo algebraicamente usando una técnica llamada sustitución. La idea básica es remplazar una variable con una expresión a la que es igual (por lo que la expresión sustituye o reemplaza la variable). Por ejemplo, comencemos con el sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} y = 5x\\2x - y = 9 \end{cases}\)
Como sabemos que \(y = 5x\), podemos remplazar a \(y\) por \(5x\) en la siguiente ecuación \(2x - y = 9\),
\(\displaystyle 2x - (5x) = 9,\)
luego, resolvemos la ecuación para \(x\),
Podemos encontrar el valor de \(y\) usando cualquier ecuación. Por ejemplo, al usar la primera ecuación: \(y = 5 \boldcdot \text-3\). Entonces
\(\displaystyle (\text-3,\text -15)\)
es la solución de este sistema. Podemos comprobar esta respuesta al observar las gráficas de las ecuaciones:
¡Sin duda! Las rectas se intersecan en el punto \((\text-3, \text-15)\).
No lo sabíamos en ese momento, pero en realidad también estábamos usando sustitución en la última lección.
En esa lección, observamos el sistema
\(\begin{cases} y = 2x + 6 \\ y = \text-3x - 4 \end{cases}\)
y remplazamos \(2x+6\) por \(y\) en la segunda ecuación para obtener \(2x+6=\text-3x-4\). ¡Regresa y compruébalo por ti mismo!
Entradas del glosario
- sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. Cada ecuación contiene dos o más variables. Queremos encontrar valores para las variables que hagan que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.
Estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones:
\(\displaystyle \begin{cases} x + y = \text-2\\x - y = 12\end{cases}\)
La solución de este sistema es \(x=5\) y \(y=\text-7\) porque cuando remplazamos las variables \(x\) y \(y\) por esos valores, ambas ecuaciones son verdaderas: \(5+(\text-7)=\text-2\) y \(5-(\text-7)=12\).