Lección 15

Escribamos sistemas de ecuaciones

Escribamos sistemas de ecuaciones sobre situaciones del mundo real.

15.1: ¿Cuántas soluciones? Asociemos

Emparejen cada sistema de ecuaciones con el número de soluciones que tiene:

  1. \(\begin{cases} y=\text-\frac43x+4 \\ y = \text-\frac43x-1 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} y=4x-5 \\ y = \text-2x+7 \end{cases}\)
  3. \(\begin{cases} 2x+3y = 8 \\ 4x+6y = 17 \end{cases}\)
  4. \(\begin{cases} y= 5x-15 \\ y= 5(x-3) \end{cases}\)
  1. Sin soluciones
  2. Una solución
  3. Infinitas soluciones

15.2: Situaciones y sistemas

Para cada situación:

  • Creen un sistema de ecuaciones.
  • Sin resolver el sistema, interpreten lo que la solución al sistema les permite saber sobre la situación.
  1. La familia de Lin sale a dar un paseo en bicicleta. El papá de Lin se detiene para tomar una fotografía del paisaje y le dice al resto de la familia que continúen y que luego los alcanzará. Él tarda 5 minutos tomando la foto, y luego avanza a 0.24 millas por minuto hasta que se encuentra con el resto de la familia a lo largo del camino. Lin y los otros avanzaban a 0.18 millas por minuto.
  2. Noah está planeando un viaje en kayak. La agencia de renta de kayaks A cobra un precio base de \$15 más \$4.50 por hora. Mientras que la agencia de renta de kayaks B cobra un precio base de\$12.50 más \$5 por hora.
  3. Diego está haciendo una gran tanda de pasteles. Para esta receta, se requieren 3 fresas por cada manzana. Diego usó 52 frutas en total.
  4. La harina cuesta \$0.80 por libra y el azúcar cuesta \$0.50 por libra. Un pedido de harina y azúcar que pesa 15 libras, cuesta \$9.00.

15.3: Falta de información: carreras y boletos para teatro

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lee tu tarjeta en silencio y piensa en lo que necesitas saber para poder contestar a la pregunta.

  2. Pide a tu compañero la información específica que necesites.

  3. Explica cómo estás usando la información para resolver el problema.

    Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para solucionar el problema.

  4. Comparte la tarjeta de problema y soluciona el problema independientemente.

  5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee tu tarjeta en silencio.

  2. Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?” y espera a que te pida la información.

    Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.

  3. Antes de compartir la información, pregunta “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha el razonamiento de tu compañero y haz preguntas que te ayuden a aclarar tus dudas.

  4. Lee la tarjeta de problema y soluciona el problema independientemente.

  5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas y repite la actividad, intercambiando roles con tu compañero.

15.4: Practiquemos resolver sistemas

Estos son varios sistemas de ecuaciones:

  • \(\begin{cases} y=\text-2x+6 \\ y=x-3 \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} y=5x-4 \\ y=4x+12 \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} y=\frac23x-4 \\ y=\text-\frac43x+9 \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} 4y + 7x = 6 \\ 4y+7x = \text-5 \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} y=x - 6\\ x=6 + y \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} y=0.24x\\ y=0.18x+0.9 \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} y=4.5x+15 \\ y=5x+12.5 \end{cases}\)
  • \(\begin{cases} y=3x \\ x+y=52 \end{cases}\)
  1. Sin resolverlos, identifiquen 3 sistemas que crean que serían los menos difíciles de resolver y 3 sistemas que serían los más difíciles. Prepárense para explicar su razonamiento.
  2. Elijan 4 sistemas para resolver. Al menos uno debe ser de su lista de "menos difíciles" y otro debe ser de su lista de "más difíciles".

Resumen

Hemos aprendido cómo resolver muchos tipos de sistemas de ecuaciones usando álgebra, ya que serían difíciles de resolver mediante la representación gráfica. Por ejemplo, veamos el siguiente sistema:

\(\begin{cases} y = 2x -3 \\ x+2y=7 \end{cases}\)

En la primera ecuación se tiene que \(y=2x-3\), así que donde sea que veamos \(y\), podemos sustituirla con la expresión \(2x-3\). Entonces, la segunda ecuación se convierte en \(x+2(2x-3) = 7\).

Luego, podemos encontrar el valor para \(x\):

\(\begin{align} x+4x-6 &= 7 &&\text{propiedad distributiva}\\ 5x-6 &=7 &&\text{se agrupan términos semenjantes}\\ 5x &= 13 &&\text{se suma 6 a cada lado}\\ x&= \frac{13}{5} && \text{se multiplica cada lado por } \frac{1}{5} \end{align}\)

Sabemos que el valor de \(y\) para la solución es el mismo en ambas ecuaciones, por lo que podemos usar cualquiera de las dos para encontrarlo. Por ejemplo, usemos la primera ecuación:

\(\begin{align} y &= 2(\frac{13}{5})-3 &&\text{reemplaza \(x= \frac{13}{5}\) en la ecuación}\\ y &=\frac{26}{5}-3 &&\text{multiplica \(2(\frac{13}{5})\) para obtener \(\frac{26}{5}\)} \\ y &=\frac{26}{5}-\frac{15}{5} &&\text{escribe 3 como \(\frac{15}{5}\)}\\ &y=\frac{11}{5} \end{align}\)

Si sustituimos \(x=\frac{13}5\) en la otra ecuación, \(x+2y=7\), obtenemos el mismo valor de \(y\). Entonces, la solución del sistema es \(\left(\frac{13}{5},\frac{11}5\right)\).

Hay muchos tipos de sistemas de ecuaciones que aprenderemos a resolver en próximos grados escolares, como \(\begin{cases} 2x+3y = 6 \\ \text-x+2y = 3 \end{cases}\).

O incluso \(\begin{cases} y = x^2 +1 \\ y = 2x+3 \end{cases}\).

Entradas del glosario

  • sistema de ecuaciones

    Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. Cada ecuación contiene dos o más variables. Queremos encontrar valores para las variables que hagan que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.

    Estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones:

    \(\displaystyle \begin{cases} x + y = \text-2\\x - y = 12\end{cases}\)

    La solución de este sistema es \(x=5\) y \(y=\text-7\) porque cuando remplazamos las variables \(x\) y \(y\) por esos valores, ambas ecuaciones son verdaderas: \(5+(\text-7)=\text-2\) y \(5-(\text-7)=12\).