Lección 11

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

 

Una hormiga y un escarabajo distintos están separados a cierta distancia y comienzan a caminar uno hacia el otro. La gráfica muestra la distancia recorrida por el escarabajo desde su punto de inicio a lo largo del tiempo, y el punto marcado \((2.5,10)\) indica cuando se cruzan la hormiga y el escarabajo.

La hormiga está caminando 2 centímetros por cada segundo.

1. Escribe una ecuación que represente la relación entre la distancia entre la hormiga y el punto de inicio del escarabajo y la cantidad de tiempo que ha pasado.
2. Si aún no lo has hecho, dibuja la gráfica de tu ecuación en el mismo plano de coordenadas.

Elena y Jada estaban corriendo una carrera de 100 metros en sus bicicletas. Ambas arrancaron al mismo tiempo y manejaron su bicicleta a una rapidez constante. Esta es una tabla que tiene información sobre la carrera de Jada en su bicicleta:

tiempo desde la salida (segundos)	distancia desde la salida (metros)
6	36
9	54

1. Grafica la relación entre distancia y tiempo para la carrera de Jada en su bicicleta. Asegúrate de etiquetar y establecer una escala de manera apropiada.

   

   

   
    
2. Elena recorrió toda la carrera a una rapidez constante de 6 metros por segundo. En el mismo par de ejes, grafica la relación entre distancia y tiempo para la carrera de Elena en su bicicleta.
3. ¿Quién ganó la carrera?

Las soluciones a una ecuación corresponden a puntos en su gráfica. Por ejemplo, si un automóvil A está viajando a 75 millas por hora y pasa por una zona de descanso cuando \(t = 0\), entonces la distancia en millas que ha recorrido desde la zona de descanso después de \(t\) horas es:

\(\displaystyle d = 75t\)

El punto \((2, 150)\) está en la gráfica de esta ecuación pues \(150 = 75 \boldcdot 2\): dos horas después de pasar por la zona de descanso, el automóvil ha recorrido 150 millas.

Si tenemos dos ecuaciones, podríamos preguntarnos si hay un par ordenado que sea una solución de ambas ecuaciones de manera simultánea. Por ejemplo, si el automóvil B está viajando hacia la zona de descanso y su distancia se expresa por:

\(\displaystyle d = 14 - 65t\)

Podemos preguntarnos si hay un momento en que la distancia entre el automóvil A y la zona de descanso es la misma que la distancia entre el automóvil B y la zona de descanso. Si la respuesta es "sí", entonces la solución corresponderá a un punto que está en ambas rectas.

Al observar las coordenadas del punto de intersección, vemos que el automóvil A y el automóvil B estarán a 7.5 millas de la zona de descanso después de 0.1 horas (que son 6 minutos).

Ahora supongamos que otro automóvil, el automóvil C, también pasó por la zona de descanso en el momento \( t = 0 \) y viajó en la misma dirección que el automóvil A, viajando también a 75 millas por hora. Su ecuación también sería \( d = 75t \). Cualquier solución a la ecuación del automóvil A también sería una solución a la ecuación del automóvil C, y cualquier solución a la ecuación del automóvil C también sería una solución para el automóvil A. La recta del automóvil C estaría sobre la recta del automóvil A. En este caso, cada punto de la recta graficada es una solución para ambas ecuaciones, de modo que hay infinitas soluciones a la pregunta "¿cuándo están el automóvil A y el automóvil C a la misma distancia de la zona de descanso?". Esto significaría que ambos automóviles estuvieron juntos, uno al lado del otro, durante todo su recorrido.

Cuando tenemos dos ecuaciones lineales que son equivalentes entre sí, como \(y = 3x+2\) y \(2y = 6x +4\), obtendremos dos rectas que están "justo encima" una de la otra. Cualquier solución a una ecuación es también solución a la otra, por lo que estas dos rectas se intersecan en un número infinito de puntos.