Lección 10

Jada tiene \$20 para gastar en juegos y atracciones en una feria. Los juegos cuestan \$1 cada uno y las atracciones cuestan \$2 cada una.

1. ¿Cuál ecuación representa la relación entre el número de juegos que Jada podría jugar, \(x\), y el número de atracciones a las que Jada podría subir, \(y\), si gasta todo su dinero?

   A: \(x + y = 20\)

   B: \(2x + y = 20\)

   C: \(x + 2y = 20\)

2. Explica qué puede significar cada una de las otras dos ecuaciones en esta situación.

Estas son tres ecuaciones. Cada una representa la relación entre el número de juegos, \(x\), el número de atracciones, \(y\), y la cantidad de dólares que un estudiante gasta en juegos y atracciones en un parque de diversiones diferente.

Tu profesor te asignará (o te pedirá que escojas) 1 o 2 ecuaciones. Para cada ecuación que te asigne (o que escojas), responde las preguntas.

Primera ecuación: \(\underline{\hspace{50mm}}\)

1. ¿Cuál es el número de atracciones a las que el estudiante podría subirse si no juega ningún juego? En el plano de coordenadas, marca el punto que representa esta situación y escribe al lado sus coordenadas.

2. ¿Cuál es el número de juegos que el estudiante podría jugar si no se sube a ninguna atracción? En el plano de coordenadas, marca el punto que representa esta situación y escribe al lado sus coordenadas.

   

   

3. Dibuja una recta que una los dos puntos que dibujaste.
4. Completa las oraciones: “Si el estudiante no juega ningún juego, se puede subir a \(\underline{\hspace{.75in}}\) atracciones. Por cada juego adicional que el estudiante juega, \(x\), el número de atracciones a las que se puede subir, \(y\), \(\underline{\hspace{1.5in}}\) (aumenta o disminuye) en \(\underline{\hspace{.75in}}\)”.
5. ¿Cuál es la pendiente de tu gráfica? ¿En dónde se interseca la gráfica con el eje vertical?
6. Reorganiza la ecuación para despejar \(y\).
7. ¿Qué relaciones, si las hay, observas entre tu ecuación nueva y la gráfica?

Segunda ecuación: \(\underline{\hspace{50mm}}\)

1. ¿Cuál es el número de atracciones a las que el estudiante podría subirse si no juega ningún juego? En el plano de coordenadas, marca el punto que representa esta situación y escribe al lado sus coordenadas.
2. ¿Cuál es el número de juegos que el estudiante podría jugar si no se sube a ninguna atracción? En el plano de coordenadas, marca el punto que representa esta situación y escribe al lado sus coordenadas.

   

   

3. Dibuja una recta que una los dos puntos que dibujaste.
4. Completa las oraciones: “Si el estudiante no juega ningún juego, se puede subir a \(\underline{\hspace{.75in}}\) atracciones. Por cada juego adicional que el estudiante juega, \(x\), el número de atracciones a las que se puede subir, \(y\),  \(\underline{\hspace{1.5in}}\) (aumenta o disminuye) en \(\underline{\hspace{.75in}}\)”.
5. ¿Cuál es la pendiente de tu gráfica? ¿En dónde se interseca la gráfica con el eje vertical?
6. Reorganiza la ecuación para despejar \(y\).
7. ¿Qué relaciones, si las hay, observas entre tu ecuación nueva y la gráfica?

En el tarro de Andre hay 85 centavos. En el tarro no hay monedas de veinticinco centavos ni de un centavo, así que en el tarro hay solo monedas de cinco centavos, o solo monedas de diez centavos o algunas de cada una.

Las ecuaciones lineales se pueden escribir de diferentes formas. Algunas formas nos permiten ver mejor la relación entre las cantidades o predecir cómo será la gráfica de la ecuación.

Supongamos que un atleta desea quemar 700 calorías en un día corriendo y nadando. Él quema 17.5 calorías por cada minuto que corre y 12.5 calorías por cada minuto que nada al estilo libre. Llamemos \(x\) al número de minutos que corre y \(y\) al número de minutos que nada. Para representar la combinación de correr y nadar que le permitiría a él quemar 700 calorías, podemos escribir:

\(17.5x + 12.5y = 700\)

Podemos pensar que cuantos más minutos corre, menos minutos tiene que nadar para cumplir su objetivo. En otras palabras, a medida que \(x\) aumenta, \(y\) disminuye. Si graficamos la ecuación, la recta se inclinará hacia abajo de izquierda a derecha.

Si el atleta quiere saber cuántos minutos necesitaría nadar si corre durante 15 minutos, 20 minutos o 30 minutos, él puede reemplazar \(x\) por cada uno de estos valores en la ecuación y encontrar \(y\). O puede primero despejar \(y\) en la ecuación:

\( \begin {align}17.5x + 12.5y &= 700\\ 12.5y &= 700 - 17.5x\\ y &= \dfrac {700-17.5x}{12.5}\\ y &=56 - 1.4x  \end{align}\)

Observa que \(y=56 - 1.4x\) o \(y=\text-1.4x + 56\) están escritas en la forma pendiente-punto de intersección.

• El coeficiente de \(x\), -1.4, es la pendiente de la gráfica. Esto significa que a medida que \(x\) aumenta en 1, \(y\) disminuye en 1.4. Por cada minuto adicional que corre, el atleta puede nadar 1.4 minutos menos.
• El término constante, 56, nos dice en dónde la gráfica se interseca con el eje \(y\). Nos dice el número de minutos que el atleta necesitaría nadar si no corre.