Lección 24
Soluciones de sistemas de desigualdades lineales en dos variables
- Exploremos situaciones en las que dos restricciones, que se pueden expresar usando desigualdades, se tienen que cumplir simultáneamente.
24.1: Resolvamos un acertijo
Este es un acertijo: “Estoy pensando en dos números que suman 5.678. La diferencia entre ellos es 9.876. ¿Cuáles son los dos números?”.
- Encuentra una pareja de números que sumen 5.678.
- Encuentra una pareja de números cuya diferencia sea 9.876.
- El acertijo se puede representar usando dos ecuaciones. Escribe las ecuaciones.
- Resuelve el acertijo. Explica o muestra tu razonamiento.
24.2: Un proyecto de edredones
Para hacer un edredón, un artesano compra tela clara y tela oscura. Él necesita al menos 9.5 yardas de tela en total.
Cada yarda de tela clara cuesta \$9. Cada yarda de tela oscura cuesta \$13. El artesano puede gastar hasta \$110 en tela.
Estas gráficas representan las dos restricciones.
A
B
- Escribe una desigualdad que represente la restricción sobre la longitud. Llamemos \(x\) a la cantidad de yardas de tela clara y llamemos \(y\) a la cantidad de yardas de tela oscura.
-
Selecciona todas las parejas que satisfacen la restricción sobre la longitud.
\((5,5)\)
\((2.5, 4.5)\)
\((7.5, 3.5)\)
\((12,10)\)
- Escribe una desigualdad que represente la restricción sobre el costo.
-
Selecciona todas las parejas que satisfacen la restricción sobre el costo.
\((1,1)\)
\((4,5)\)
\((8,3)\)
\((10,1)\)
- Explica por qué \((2,2)\) satisface la restricción sobre el costo, pero no la restricción sobre la longitud.
- Encuentra por lo menos una pareja de números que satisface ambas restricciones. Prepárate para explicar cómo lo sabes.
- ¿Qué representa la pareja de números en esta situación?
24.3: ¿Recuerdan estas situaciones?
Estas son algunas situaciones que has visto antes. Responde las preguntas para una de las situaciones.
Cuentas bancarias- Un cliente abre una cuenta corriente y una cuenta de ahorros en un banco. Este deposita un máximo de $600, una parte en la cuenta corriente y otra parte en la cuenta de ahorros. (Es posible que no deposite todo el dinero).
- El banco exige un saldo mínimo de $50 en la cuenta de ahorros para no cobrar cuota de servicio. No hay exigencia sobre la cantidad de dinero que se mantiene en la cuenta corriente.
- Se vendieron dos tipos de boletos para un concierto al aire libre: boletos de gramilla (en el césped) y boletos de grada (en la que uno se puede sentar). En total se vendieron menos de 400 boletos.
- Cada boleto de gramilla cuesta \$30 y cada boleto de grada cuesta \$50. Los organizadores quieren recolectar al menos $14,000 con la venta de boletos.
- En una agencia de publicidad ofrecen dos paquetes para empresas pequeñas que necesitan servicios de publicidad. El paquete básico incluye solamente los servicios de diseño. El paquete prémium incluye el servicio de diseño y la publicidad. El objetivo en la agencia es vender por lo menos 60 paquetes de publicidad para pequeñas empresas.
- El paquete básico cuesta \$1,000 y el paquete prémium cuesta \$2,500. El objetivo en la agencia es vender más de $60,000 en paquetes de publicidad para pequeñas empresas.
1. Escribe un sistema de desigualdades que represente las restricciones. Especifica lo que representa cada variable.
2. Usa tecnología para graficar las desigualdades. Después, haz un dibujo de las regiones solución. Marca y agrega escalas a los ejes.
3. Identifica una solución del sistema. Explica lo que significan los números en la situación.
24.4: Búsqueda de un tesoro
Los miembros del club de matemáticas de una preparatoria hacen un juego de búsqueda de tesoro. Hay tres objetos escondidos en el parque, que tiene forma de rectángulo y mide 50 metros por 20 metros.
- Las pistas están escritas como sistemas de desigualdades. Uno de los sistemas no tiene solución.
- La ubicación de cada objeto se puede determinar solucionando los sistemas. Se puede usar un plano de coordenadas para describir las soluciones.
¿Puedes encontrar los objetos escondidos? Haz una gráfica para mostrar dónde podría estar cada objeto.
Pista 1:\(\qquad y>14 \qquad x<10\)
Pista 2: \(\qquad x+y<20 \qquad x>6\)
Pista 3: \(\quad y<\text-2x+20 \quad y < \text-2x+10\)
Pista 4: \(\qquad y \ge x+10 \qquad x > y\)
Dos números no negativos \(x\) y \(y\) satisfacen \(x + y \leq 1\).
- Sigue usando valores de \(x\) y de \(y\) que sean mayores o iguales a cero y encuentra una segunda desigualdad para formar un sistema de desigualdades que tenga exactamente una solución.
- Responde a la pregunta anterior de todas las formas que puedas.
Resumen
En esta lección, representamos las restricciones de una situación usando dos desigualdades lineales en dos variables. Cada par de desigualdades forma un sistema de desigualdades.
Una solución del sistema es cualquier pareja \((x,y)\) que hace que ambas desigualdades sean verdaderas. Es decir, una solución es una pareja de valores que simultáneamente cumple con ambas restricciones de la situación. La solución del sistema se puede representar con una región en una gráfica.
Supongamos que sabemos dos cosas sobre unos números \(x\) y \(y\):
- El valor de un número es mayor que el doble del valor del otro.
- La suma de los dos números es menor que 10.
Podemos representar estas restricciones usando un sistema de desigualdades.
\(\begin {cases} y > 2x\\ x+y <10 \end {cases}\)
Hay muchas parejas posibles de números que satisfacen la primera restricción, por ejemplo: 1 y 3, o 4 y 9.
Igualmente, hay muchas parejas posibles de números que satisfacen la segunda restricción, por ejemplo: 1 y 3, o 2.4 y 7.5.
La pareja \(x=1\) y \(y=3\) satisface ambas restricciones, por lo que es una solución del sistema.
La pareja \(x=4\) y \(y=9\) satisface la primera restricción, pero no satisface la segunda (\(9 >2(4)\) es una afirmación verdadera, pero \(4+9<10\) no es verdadera).
Recordemos que hacer gráficas es una excelente forma de mostrar todas las posibles soluciones de una desigualdad. Grafiquemos la región solución de las dos desigualdades.
Como estamos buscando una pareja de números que cumpla con ambas restricciones (que haga que ambas desigualdades sean verdaderas a la vez), debemos encontrar puntos que estén en las regiones solución de ambas desigualdades.
Para hacerlo, podemos graficar ambas regiones solución en el mismo plano de coordenadas.
El conjunto solución del sistema de desigualdades se representa con la región en la que las dos gráficas se sobreponen.
Entradas del glosario
- sistema de desigualdades
Un sistema de desigualdades consiste en dos o más desigualdades que representan las restricciones de una misma situación.
- soluciones de un sistema de desigualdades
Las soluciones del sistema son todas las parejas de valores que hacen que las desigualdades del sistema sean verdaderas. Estas se pueden representar como los puntos de la región donde las gráficas de las dos desigualdades se sobreponen.