Lección 4

Un bocado de granola tiene 27 calorías. La mayor parte de las calorías proviene de \(c\) gramos de carbohidratos. El resto proviene de otros ingredientes. Un gramo de carbohidrato contiene 4 calorías.

La ecuación \(4c + 5= 27\) representa la relación entre estas cantidades.

1. ¿Qué puede representar el 5 en esta situación?
2. Priya dijo que ni 8 ni 3 podían ser la solución de la ecuación. Explica por qué ella tiene razón.
3. Encuentra la solución de la ecuación.

Jada tiene tiempo los fines de semana para ganar algo de dinero. En una librería local están buscando a alguien que ayude a clasificar libros y pagarán \$12.20 la hora. Pero, en un día de trabajo, para ir y volver de la librería, Jada tendría que gastar \$7.15 en boletos de autobús.  

1. Escribe una ecuación que represente las ganancias netas en dólares de Jada, \(E\), si trabaja en la librería durante \(h\) horas en un día.
2. Un día, Jada gana \$90.45 después de trabajar \(h\) horas y después de pagar los boletos de autobús. Escribe una ecuación que represente esta situación.
3. ¿Es 4 una solución de la ecuación que escribiste? ¿Y 7?
   • Si es así, prepárate para explicar cómo sabes que uno o ambos son soluciones.
   • Si no, prepárate para explicar por qué no son soluciones. Después, encuentra la solución.
4. En esta situación, ¿qué nos dice la solución de la ecuación?

Un gramo de proteína tiene 4 calorías. Un gramo de grasa tiene 9 calorías. Un pasabocas tiene 60 calorías que provienen de \(p\) gramos de proteína y \(f\) gramos de grasa.

La ecuación \(4p+9f = 60\) representa la relación entre estas cantidades. 

1. Determina si cada pareja de valores puede ser el número de gramos de proteína y de grasa del pasabocas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

   1. 5 gramos de proteína y 2 gramos de grasa
   2. 10.5 gramos de proteína y 2 gramos de grasa
   3. 8 gramos de proteína y 4 gramos de grasa
2. Si hay 6 gramos de grasa en el pasabocas, ¿cuántos gramos de proteína hay? Muestra tu razonamiento.
3. En esta situación, ¿qué nos dice una solución de la ecuación \(4p+9f = 60\)? Escribe un ejemplo de una solución.

Una ecuación que tiene solo una cantidad desconocida o que puede variar se llama una ecuación en una variable.

Por ejemplo, la ecuación \(2\ell + 2w = 72\) representa la relación entre la longitud, \(\ell\), y el ancho, \(w\), de un rectángulo cuyo perímetro es 72 unidades. Si sabemos que la longitud es 15 unidades, podemos reescribir la ecuación como:

\(2(15) + 2w = 72\).

Esta es una ecuación en una variable, porque \(w\) es la única cantidad que no conocemos. Resolver esta ecuación significa encontrar un valor de \(w\) que hace que la ecuación sea verdadera.

En este caso, 21 es la solución porque al reemplazar \(w\) por 21 en la ecuación se obtiene una afirmación verdadera. 

\(\begin {align}2(15) + 2w &=72\\ 2(15)+2(21) &= 72\\ 30 + 42 &=72\\ 72&=72 \end{align}\)

Una ecuación que tiene dos cantidades desconocidas o dos cantidades que varían se llama una ecuación en dos variables. La solución de una ecuación de ese tipo es una pareja de números que hace que la ecuación sea verdadera. 

Supongamos que Tyler gasta \$45 en camisetas y calcetines. Una camiseta cuesta \$10 y un par de calcetines cuesta \$2.50. Si \(t\) representa el número de camisetas y \(p\) representa el número de pares de calcetines que Tyler compra, podemos representar esta situación con la ecuación:

\(10t + 2.50p = 45\)

Esta es una ecuación en dos variables. Más de una pareja de valores de \(t\) y \(p\) hacen que la ecuación sea verdadera.

En esta situación, una restricción es que el costo total de las camisetas y los calcetines debe ser igual a \$45. Las soluciones de la ecuación son parejas de valores de \(t\) y \(p\) que satisfacen esta restricción.

Combinaciones como \(t=1\) y \(p = 10\) o \(t=2\) y \(p=7\) no son soluciones porque no cumplen la restricción. Cuando en la ecuación las variables se reemplazan por estas parejas de valores, se obtienen afirmaciones falsas.