Lección 25

Resolvamos problemas usando sistemas de desigualdades lineales en dos variables

  • Usemos sistemas de desigualdades para resolver problemas.

25.1: Cuál es diferente: Gráficas de soluciones

¿Cuál es diferente?

A

Graph of two intersecting lines.

B

Graph of 2 inequalities.

C

Graph of two inequalities.

D

Graph of line, no grid, origin O.  Each axis from negative 10 to 10, by 5's. The line passes through negative 10 comma 10, 0 comma 0, 5 comma negative 5. The region above the line is shaded.  

25.2: Enfoquémonos en los detalles

Estas son las gráficas de las desigualdades de este sistema:

\(\displaystyle \begin{cases} x< y\\ y\geq \text-2x-6 \end{cases}\)

A graph of two intersecting inequalities on a coordinate plane.

Para cada punto, decide si este corresponde a una solución del sistema. Prepárate para explicar cómo lo sabes.

  1. \((3, \text-5)\)
  2. \((0,5)\)
  3. \((\text-6,6)\)
  4. \((3,3)\)
  5. \((\text-2,\text-2)\)


Encuentra un sistema de desigualdades cuyo conjunto solución sea este triángulo.

Triangle on a coordinate grid. X and Y axis from negative 5 to 4. Vertices of the triangle are negative 2 comma 4, 2 comma 3, and 3 comma negative 3.

25.3: Falta de información: Reglas del equipo

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee en silencio la información de tu tarjeta.
  2. Pregúntale a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”, y espera a que te pida información. Dale solo la información que está en tu tarjeta. (¡No le ayudes a descifrar nada!). 
  3. Antes de darle información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas saber (ese dato)?”.
  4. Lee la tarjeta de problema. Después, resuelve el problema individualmente. 
  5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lee en silencio tu tarjeta y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.
  2. Pídele a tu compañero la información específica que necesitas.
  3. Explícale a tu compañero cómo vas a usar la información para resolver el problema.
  4. Cuando tengas suficiente información, comparte la tarjeta de problema con tu compañero. Después, resuelve el problema individualmente.
  5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero. 

Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. Pídele al profesor un nuevo grupo de tarjetas. Intercambia roles con tu compañero y repite la actividad. 

Si te ayuda, usa los planos de coordenadas.

A blank coordinate grid with origin 0. Each axis, 0 to 22, by 2’s.
A blank coordinate grid with origin 0. Each axis, 0 to 22, by 2’s.

Resumen

Una familia tiene un máximo de \$25 para gastar en actividades en la zona de diversión. Usar los trampolines cuesta \$10 la hora y usar la piscina cuesta \$5 la hora. La familia se puede quedar menos de 4 horas en la zona de diversión.

Teniendo en cuenta sus restricciones, ¿cuáles son algunas combinaciones del tiempo en los trampolines y del tiempo en la piscina que la familia puede escoger?

Podemos encontrar algunas combinaciones por ensayo y error, pero también podemos ver todas las combinaciones posibles si escribimos un sistema de desigualdades y graficamos sus soluciones.

Llamemos \(t\) al tiempo, en horas, en los trampolines y \(p\) al tiempo, en horas, en la piscina.

Las restricciones se pueden representar con este sistema de desigualdades:

\(\begin{cases} \begin{align}10t+5p & \leq 25\\t +\hspace{2.1mm}p&<4 \end{align} \end{cases}\)

Estas son las gráficas de las desigualdades del sistema.​​​​

El conjunto solución del sistema está representado por la región en la que las partes sombreadas de las dos gráficas se sobreponen. Cualquier punto de esa región es una pareja de tiempos que cumplen las restricciones de tiempo y de presupuesto de la familia.

Las gráficas nos permiten ver todas las soluciones posibles.

Two inequalities graphed on a coordinate plane.

  • ¿La familia puede estar 1 hora en los trampolines y 3 horas en la piscina?

    No. Una forma de ver esto es que los tiempos suman 4 horas, pero la familia quiere estar menos de 4 horas en la zona de diversión. También podemos ver que el punto \((1,3)\) está en la recta punteada de la gráfica, por lo que no es una solución.

  • ¿La familia puede estar 2 horas en los trampolines y 1.5 horas en la piscina?

    No. Sabemos que estos dos tiempos suman menos de 4 horas, pero el costo es \(10(2)+5(1.5)\), o 27.5, y esto es mayor que el presupuesto.

    Puede ser más fácil verificar que esta combinación no es una opción válida si observamos que el punto \((2,1.5)\) está en la región sombreada con rayas, pero no está en la región sombreada con color. Esto significa que este punto satisface una de las restricciones, pero no satisface la otra.

Entradas del glosario

  • sistema de desigualdades

    Un sistema de desigualdades consiste en dos o más desigualdades que representan las restricciones de una misma situación.

  • soluciones de un sistema de desigualdades

    Las soluciones del sistema son todas las parejas de valores que hacen que las desigualdades del sistema sean verdaderas. Estas se pueden representar como los puntos de la región donde las gráficas de las dos desigualdades se sobreponen.