Lección 8

1. La tabla muestra la relación entre la longitud de la base, \(b\), y el área, \(A\), de algunos paralelogramos. Todos esos paralelogramos tienen la misma altura. La longitud de la base se mide en pulgadas y el área se mide en pulgadas cuadradas. Completa la tabla.

   \(b\) (pulgadas)	\(A\) (pulgadas cuadradas)
   1	3
   2	6
   3	9
   4.5
   \(\frac{11}{2}\)
   	36
   	46.5

2. En cada caso, decide si la ecuación representa la relación entre \(b\) y \(A\). Prepárate para explicar tu razonamiento.

   1. \(b = 3A\)
   2. \(b = \frac {A}{3}\)
   3. \(A = \frac {b}{3}\)
   4. \(A = 3b\)

1. Encuentra la longitud de la sección de la calle que le corresponde a cada voluntario si el número de voluntarios es el siguiente. Prepárate para explicar o mostrar tu razonamiento.

   1. 8 voluntarios
   2. 10 voluntarios
   3. 25 voluntarios
   4. 36 voluntarios
2. Escribe una ecuación con la que sería más fácil encontrar \(\ell\), la longitud en millas de la sección de calle para cada voluntario, si hay \(n\) voluntarios.

3. Encuentra el número de voluntarios del grupo si cada voluntario limpia una sección que tiene la siguiente longitud. Prepárate para explicar o mostrar tu razonamiento.

   1. 0.4 millas
   2. \(\frac {2}{7}\) de milla
   3. 0.125 millas
   4. \(\frac {6}{45}\) de milla
4. Escribe una ecuación con la que sería más fácil encontrar el número de voluntarios, \(n\), si cada voluntario limpia una sección que mide \(\ell\) millas. 

1. El tanque A inicialmente tenía 124 litros de agua. Después, se llenó con más agua, a una tasa constante de 9 litros por cada minuto. ¿Cuántos litros de agua hay en el tanque A después de que han pasado las siguientes cantidades de tiempo?

   1. 4 minutos
   2. 80 segundos
   3. \(m\) minutos

2. ¿Cuántos minutos, \(m\), han pasado cuando el tanque A tiene las siguientes cantidades de agua?

   1. 151 litros
   2. 191.5 litros
   3. 270.25 litros
   4. \(p\) litros

3. El tanque B, que inicialmente tenía 80 litros de agua, se vacía a una tasa de 2.5 litros por cada minuto. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque después de las siguientes cantidades de tiempo?

   1. 30 segundos
   2. 7 minutos
   3. \(t\) minutos

4. ¿Durante cuántos minutos, \(t\), se ha estado vaciando el agua cuando el tanque B tiene las siguientes cantidades de agua?

   1. 75 litros
   2. 32.5 litros
   3. 18 litros
   4. \(v\) litros

Una relación entre cantidades se puede describir de más de una forma. Dependiendo de qué queremos encontrar, algunas formas son más útiles que otras. Por ejemplo, examinemos los ángulos de un triángulo isósceles.

Supongamos que queremos encontrar \(a\) cuando \(b\) es \(20^{\circ}\).  

Ahora supongamos que los dos ángulos de abajo miden \(34^\circ\) cada uno. ¿Cuántos grados mide el ángulo de arriba?

Observa que cuando nos dieron \(b\), hicimos los mismos cálculos varias veces para encontrar \(a\): reemplazamos \(b\) en la primera ecuación, le restamos \(b\) a 180 y, luego, dividimos el resultado entre 2. 

En lugar de seguir estos pasos una y otra vez cuando conocemos \(b\) y queremos encontrar \(a\), podemos reorganizar la ecuación para aislar \(a\):

\(\begin{align} a + a + b &= 180\\ 2a + b&=180\\2a &=180-b\\ a &=\dfrac{180-b}{2} \end{align}\)

Esta ecuación es equivalente a la primera. Para encontrar \(a\), podemos ahora simplemente reemplazar \(b\) por cualquier valor en esta ecuación y evaluar la expresión del lado derecho.

Del mismo modo, podemos escribir una ecuación equivalente para que sea más fácil encontrar \(b\) cuando conocemos \(a\):

\(\begin{align} a + a + b &= 180\\ 2a + b&=180\\b &=180-2a \end{align}\)

Reorganizar una ecuación para aislar una variable se llama despejar una variable. En este ejemplo, despejamos \(a\) y despejamos \(b\). Las tres ecuaciones son equivalentes. Dependiendo de qué información tengamos y en qué estemos interesados, podemos escoger una ecuación en particular y usarla.