Lección 7

Para cada uno de los siguientes productos, elige la mejor estimación de su valor. Prepárate para explicar tu razonamiento.

1. \((6.8) \boldcdot (2.3)\)

   • 1.40
   • 14
   • 140

2. \(74 \boldcdot (8.1)\)

   • 5.6
   • 56
   • 560

3. \(166 \boldcdot (0.09)\)

   • 1.66
   • 16.6
   • 166

4. \((3.4) \boldcdot (1.9)\)

   • 6.5
   • 65
   • 650

1. Estas son tres maneras de encontrar el área de un rectángulo que mide 24 unidades por 13 unidades. 

   

   

   1. ¿Qué tienen en común los diagramas? ¿En qué se parecen?
   2. ¿En qué se diferencian los diagramas?
   3. Si fueras a encontrar el área de un rectángulo que mide 37 unidades por 19 unidades, ¿cuál de las tres maneras de descomponer el rectángulo usarías? ¿Por qué?

2. Es posible que estés familiarizado con diferentes formas de escribir cálculos de multiplicación. Estas son dos formas de calcular 24 multiplicado por 13.

   

   

   1. En el cálculo A, ¿cómo se obtuvieron cada uno de los productos parciales? Por ejemplo, ¿de dónde viene el 12?
   2. En el cálculo B, ¿cómo se obtuvieron el 72 y el 240?
   3. Observa los diagramas en la primera pregunta. ¿Cuál diagrama corresponde al cálculo A? ¿Cuál corresponde al cálculo B?
   4. ¿Cómo se relacionan los productos en el cálculo A con los números en los diagramas? ¿Cómo se relacionan el 72 y el 240 en el cálculo B con los números en los diagramas?

3. Utiliza los siguientes dos métodos para encontrar el producto de 18 y 14.

   • Calcula numéricamente.

     

     

   • Este es un rectángulo que mide 18 unidades por 14 unidades. Encuentra su área, en unidades cuadradas, descomponiéndolo. Muestra tu razonamiento.

     

     

4. Compara los valores de \(18 \boldcdot 14\) que obtuviste al utilizar los dos métodos. Si no son iguales, revisa tu trabajo.

1. Uno puede utilizar diagramas de área para representar productos de decimales. Este es un diagrama de área que representa \((2.4) \boldcdot (1.3)\).

   

   

   1. Encuentra la región que representa \((0.4) \boldcdot (0.3)\). Márcala con su área de 0.12.
   2. Marca las otras regiones con sus áreas.
   3. Encuentra el valor de \((2.4) \boldcdot (1.3)\). Muestra tu razonamiento.
2. Estas son dos maneras de calcular \((2.4) \boldcdot (1.3)\).

   

   

   Analiza los cálculos y discute estas preguntas con un compañero:

   • En el cálculo A, ¿de dónde vienen el 0.12 y otros productos parciales?

   • En el cálculo B, ¿de dónde vienen el 0.72 y el 2.4?

   • En cada cálculo, ¿por qué los números debajo de la línea horizontal están alineados verticalmente de esa manera?

3. Encuentra el producto de \((3.1) \boldcdot (1.5)\) dibujando y marcando un diagrama de área. Muestra tu razonamiento.

4. Muestra cómo calcular \((3.1) \boldcdot (1.5)\) usando números sin un diagrama. Prepárate para explicar tu razonamiento. Si tienes dificultades, utiliza los ejemplos de una pregunta anterior como ayuda.

1. Marca el diagrama de área para representar \((2.5) \boldcdot (1.2)\) y para encontrar el producto.

   

   

   1. Descompón cada número en sus unidades en base diez (unidades, décimas, etc.) y escríbelas en las casillas en cada lado del rectángulo.
   2. Marca las regiones A, B, C y D con sus áreas. Muestra tu razonamiento.
   3. Encuentra el producto que representa el diagrama de área. Muestra tu razonamiento.

2. Estas son dos formas de calcular \((2.5) \boldcdot (1.2)\). Cada número con una casilla al lado nos da como resultado el área de una o más regiones en el diagrama de área.

   

   

   1. En las casillas al lado de cada número, escribe las letras de las regiones correspondientes.

   2. En el cálculo B, ¿qué números se están multiplicando para obtener 0.5?
      ¿Qué números se están multiplicando para obtener 2.5?

Supongamos que queremos calcular el producto de dos números que están escritos en base diez. Para explicar cómo, podemos utilizar lo que sabemos sobre números en base diez y áreas de rectángulos. 

Este es un diagrama de un rectángulo con longitudes del lado 3.4 unidades y 1.2 unidades.

Su área en unidades cuadradas es el producto \((3.4) \boldcdot (1.2)\). Para calcular este producto y encontrar el área del rectángulo, podemos descomponer cada longitud del lado en sus unidades en base diez, \(3.4 = 3 + 0.4\) y \(1.2= 1 + 0.2\), al descomponer el rectángulo en cuatro subrectángulos más pequeños.

Podemos reescribir el producto y expandirlo dos veces:

\(\begin{align} (3.4) \boldcdot (1.2) &= (3 + 0.4) \boldcdot (1 + 0.2)\\ &=(3 + 0.4) \boldcdot 1 + (3 + 0.4) \boldcdot 0.2\\ &=3 \boldcdot 1+ 3 \boldcdot (0.2)+ (0.4) \boldcdot 1 + (0.4)\boldcdot (0.2)\\ \end{align}\)

En la última expresión, cada uno de los cuatro términos se llama producto parcial. Cada producto parcial da como resultado el área de un subrectángulo en el diagrama. La suma de los cuatro productos parciales da como resultado el área del rectángulo completo.

Podemos mostrar los anteriores cálculos horizontales como dos cálculos verticales.