Lección 11
Escribamos ecuaciones de rectas
Exploremos la relación entre los puntos sobre una recta y la pendiente de la recta.
11.1: Coordenadas y longitudes en el plano de coordenadas
![X and Y axes.. A line through point A, at 0 comma 2, point E, and point D at 4 comma 7. A line connects E to B at 2 comma 2. Another connects D to C at 4 comma 2.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/netVCkxd5VddxdGyvTCBVZSg?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.C2.Image.01.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.C2.Image.01.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163137Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=5e97d6e741fd2c9807a6987193a3adfdad84900a170589649daadc394c1affab)
Encuentra cada uno de los siguientes valores y explica tu razonamiento:
- La longitud del segmento \(BE\).
- Las coordenadas de \(E\).
11.2: Qué queremos decir con una ecuación de una recta
En el plano de coordenadas se muestra la recta \(j\).
- ¿Cuáles son las coordenadas \(B\) y \(D\)?
-
¿El punto \((20,15)\) está sobre la recta \(j\)? Explica cómo lo sabes.
-
¿El punto \((100,75)\) está sobre la recta \(j\)? Explica cómo lo sabes.
-
¿El punto \((90,68)\) está sobre la recta \(j\)? Explica cómo lo sabes.
-
Supón que conoces las coordenadas \(x\) y \(y\) de un punto. Escribe una regla que te permitiría probar si el punto está sobre la recta \(j\).
![Coordinate plane, quadrant 1. Line j goes through point A, at the origin, point B at 4 comma 3, point D at 8 comma 6. Dotted lines connect points A, and B to point C at 4 comma 0.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/7s1ErdPWvsZzEQsKDSk9vzVk?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.C2.Image.02new3.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.C2.Image.02new3.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163138Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=36dfa93dcf982dc483d532ab2bee33f3832fa6d078996fa183dbb0b121e12ea3)
11.3: Escribamos relaciones a partir de triángulos de pendiente
Estos son dos diagramas:
- Completa cada diagrama para que todos los segmentos horizontales y verticales tengan expresiones que representen sus longitudes.
- Usa lo que sabes sobre triángulos semejantes para encontrar una ecuación para el cociente de las longitudes de los lados vertical y horizontal del \(\triangle DFE\) en cada diagrama.
![Two triangles. A, at 4 comma 4, B at 8 comma 7, C at 8 comma 4. Horizontal side length 4, vertical side length 3. Next, point D at 0 comma 1, E at x comma y, F at x comma 1.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/haG7NDge5QLS1MzPDF92oStw?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.C2.Image.03.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.C2.Image.03.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163138Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=4d6cc30119cf0417a7f5610c950374a9ce74a998f6f02f7a50084b54158aa44b)
![Two triangles. A, at 6 comma 7, B at 10 comma 10, C at 10 comma 7. Horizontal side length 4, vertical side length 3. Next, point D at 2 comma 4, E at x comma y, F at x comma 4.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/3reR75p72cjsxCNXqwz8wAqQ?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.C2.Image.04.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.C2.Image.04.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163138Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=dfdc74386944c3b9fb55878063963f58fd60f02de40c8403d482893d6b8bf8ff)
- Encuentra el área de la región sombreada sumando las áreas de los triángulos sombreados.
- Encuentra el área de la región sombreada restando el área de la región no sombreada al triángulo grande.
- ¿Qué está pasando aquí?
![A rectangle 10 wide and 6 high. A right triangle is attached on either side, 4 wide and 6 high. An isosceles triangle is attached on the top, 10 wide and 8 high. All 4 shapes form a larger triangle.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/MPEqUFUiMwK4D8WxgPW1bvY2?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228.2.ext.shadedarea001.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278.2.ext.shadedarea001.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163138Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=84e392a8a15d0de16dafd18209975d999d17999ab3661c3d0173c6079c48c3ab)
Resumen
Estos son los puntos \(A\), \(C\) y \(E\) sobre la misma recta. Los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son triángulos de pendiente para la recta, así que sabemos que son triángulos semejantes. Usemos su semejanza para comprender mejor la relación entre \(x\) y \(y\), que conforman las coordenadas del punto \(E\).
![A line graphed in a coordinate plane.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/DpGi2Tc5NNq8ydwwkExKvyZR?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.C2.Image.SlopeTri1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.C2.Image.SlopeTri1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163138Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=b03bb466d4283e1dbfdd8451d480a92c2b2d195ec312193de63eb81103a3f25e)
La pendiente para el triángulo \(ABC\) es \(\frac{2}{1}\) porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. La pendiente que encontramos para el triángulo \(ADE\) es \(\frac{y}{x}\) porque la longitud del lado vertical es \(y\) y la longitud del lado horizontal es \(x\). Estas dos pendientes deben ser iguales porque son de triángulos de pendiente de la misma recta, y por lo tanto: \(\textstyle \frac{2}{1} = \frac{y}{x}\)
Como \(\frac{2}{1} = 2\), significa que el valor de \(y\) es el doble del valor de \(x\), es decir que \(y= 2x\). ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto \((x,y)\) sobre la recta!
Estos son dos triángulos de pendiente diferentes. Podemos usar el mismo razonamiento para describir la relación entre \(x\) y \(y\) para este punto \(E\).
![A line graphed in a coordinate plane.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/vZiQGTedsvtmwk3QUxacDo8K?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.C2.Image.SlopeTri3.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.C2.Image.SlopeTri3.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T163138Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=b7ab0c21f8ba49eda2b0ce8518ec413147108f2f3e7dc136d776364000ba27d5)
La pendiente para el triángulo \(ABC\) es \(\frac{2}{1}\) porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. Para el triángulo \(ADE\), la longitud del lado horizontal es \(x\). La longitud del lado vertical es \(y-1\) porque la distancia desde \((x,y)\) hasta el eje \(x\) es \(y\), pero el lado vertical del triángulo termina 1 unidad antes del eje \(x\). Entonces, la pendiente que encontramos para el triángulo \(ADE\) es \(\frac{y-1}{x}\). Las pendientes para los dos triángulos son iguales, lo que significa que: \(\displaystyle \frac{2}{1} = \frac{y-1}{x}\)
Como \(y-1\) es el doble de \(x\), otra manera de escribir esta ecuación es \(y-1 = 2x\). ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto \((x,y)\) sobre la recta!
Entradas del glosario
- pendiente
La pendiente de una recta es un número que podemos calcular usando cualesquiera dos puntos de la recta. Para ello, primero consideramos la distancia vertical entre ellos y la distancia horizontal entre ellos; la pendiente se halla al dividir la distancia vertical entre la distancia horizontal.
La pendiente de esta recta es 2 dividido entre 3, es decir \(\frac23\).