Lección 11

Escribamos ecuaciones de rectas

Exploremos la relación entre los puntos sobre una recta y la pendiente de la recta.

11.1: Coordenadas y longitudes en el plano de coordenadas

X and Y axes.. A line through point A, at 0 comma 2, point E, and point D at 4 comma 7. A line connects E to B at 2 comma 2. Another connects D to C at 4 comma 2.

Encuentra cada uno de los siguientes valores y explica tu razonamiento:

  1. La longitud del segmento \(BE\).
  2. Las coordenadas de \(E\).

11.2: Qué queremos decir con una ecuación de una recta

En el plano de coordenadas se muestra la recta \(j\).

  1. ¿Cuáles son las coordenadas \(B\) y \(D\)?

  2. ¿El punto \((20,15)\) está sobre la recta \(j\)? Explica cómo lo sabes.

  3. ¿El punto \((100,75)\) está sobre la recta \(j\)? Explica cómo lo sabes.

  4. ¿El punto \((90,68)\) está sobre la recta \(j\)? Explica cómo lo sabes.

  5. Supón que conoces las coordenadas \(x\) y \(y\) de un punto. Escribe una regla que te permitiría probar si el punto está sobre la recta \(j\).

Coordinate plane, quadrant 1. Line j goes through point A, at the origin, point B at 4 comma 3, point D at 8 comma 6. Dotted lines connect points A, and B to point C at 4 comma 0.

 

11.3: Escribamos relaciones a partir de triángulos de pendiente

Estos son dos diagramas:

  1. Completa cada diagrama para que todos los segmentos horizontales y verticales tengan expresiones que representen sus longitudes. 
  2. Usa lo que sabes sobre triángulos semejantes para encontrar una ecuación para el cociente de las longitudes de los lados vertical y horizontal del \(\triangle DFE\) en cada diagrama.
Two triangles. A, at 4 comma 4, B at 8 comma 7, C at 8 comma 4. Horizontal side length 4, vertical side length 3. Next, point D at 0 comma 1, E at x comma y, F at x comma 1.
Two triangles. A, at 6 comma 7, B at 10 comma 10, C at 10 comma 7. Horizontal side length 4, vertical side length 3. Next, point D at 2 comma 4, E at x comma y, F at x comma 4.


  1. Encuentra el área de la región sombreada sumando las áreas de los triángulos sombreados. 
  2. Encuentra el área de la región sombreada restando el área de la región no sombreada al triángulo grande. 
  3. ¿Qué está pasando aquí?
A rectangle 10 wide and 6 high. A right triangle is attached on either side, 4 wide and 6 high. An isosceles triangle is attached on the top, 10 wide and 8 high.  All 4 shapes form a larger triangle.

Resumen

Estos son los puntos \(A\), \(C\) y \(E\) sobre la misma recta. Los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son triángulos de pendiente para la recta, así que sabemos que son triángulos semejantes. Usemos su semejanza para comprender mejor la relación entre \(x\) y \(y\), que conforman las coordenadas del punto \(E\).

A line graphed in a coordinate plane.

La pendiente para el triángulo \(ABC\) es \(\frac{2}{1}\) porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. La pendiente que encontramos para el triángulo \(ADE\) es \(\frac{y}{x}\) porque la longitud del lado vertical es \(y\) y la longitud del lado horizontal es \(x\). Estas dos pendientes deben ser iguales porque son de triángulos de pendiente de la misma recta, y por lo tanto: \(\textstyle \frac{2}{1} = \frac{y}{x}\)

Como \(\frac{2}{1} = 2\), significa que el valor de \(y\) es el doble del valor de \(x\), es decir que \(y= 2x\). ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto \((x,y)\) sobre la recta!

Estos son dos triángulos de pendiente diferentes. Podemos usar el mismo razonamiento para describir la relación entre \(x\) y \(y\) para este punto \(E\).

A line graphed in a coordinate plane.

La pendiente para el triángulo \(ABC\) es \(\frac{2}{1}\) porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. Para el triángulo \(ADE\), la longitud del lado horizontal es \(x\). La longitud del lado vertical es \(y-1\) porque la distancia desde \((x,y)\) hasta el eje \(x\) es \(y\), pero el lado vertical del triángulo termina 1 unidad antes del eje \(x\). Entonces, la pendiente que encontramos para el triángulo \(ADE\) es \(\frac{y-1}{x}\). Las pendientes para los dos triángulos son iguales, lo que significa que: \(\displaystyle \frac{2}{1} = \frac{y-1}{x}\)

Como \(y-1\) es el doble de \(x\), otra manera de escribir esta ecuación es \(y-1 = 2x\). ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto \((x,y)\) sobre la recta!

Entradas del glosario

  • pendiente

    La pendiente de una recta es un número que podemos calcular usando cualesquiera dos puntos de la recta. Para ello, primero consideramos la distancia vertical entre ellos y la distancia horizontal entre ellos; la pendiente se halla al dividir la distancia vertical entre la distancia horizontal.

    La pendiente de esta recta es 2 dividido entre 3, es decir \(\frac23\).