Lección 5

Más dilataciones

Estudiemos dilataciones en el plano de coordenadas.

5.1: Muchas dilataciones de un triángulo

Todos los triángulos son dilataciones del triángulo D. Las dilataciones usan el mismo centro \(P\), pero diferentes factores de escala. ¿Qué tienen en común los triángulos A, B y C? ¿Qué tienen en común los triángulos E, F y G? ¿Qué nos dice esto de los diferentes factores de escala usados?

A triangle D, six images after dilation, point P and three dashed projection rays.

 

5.2: Falta de información: dilataciones

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lee tu tarjeta en silencio y piensa en lo que necesitas saber para poder contestar a la pregunta.

  2. Pide a tu compañero la información específica que necesites.

  3. Explica cómo estás usando la información para resolver el problema.

    Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para solucionar el problema.

  4. Comparte la tarjeta de problema y soluciona el problema independientemente.

  5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee tu tarjeta en silencio.

  2. Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?” y espera a que te pida la información.

    Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.

  3. Antes de compartir la información, pregunta “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha el razonamiento de tu compañero y haz preguntas que te ayuden a aclarar tus dudas.

  4. Lee la tarjeta de problema y soluciona el problema independientemente.

  5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas y repite la actividad, intercambiando roles con tu compañero.



El triángulo \(EFG\) se creó al dilatar el triángulo \(ABC\) usando 2 como factor de escala y centro \(D\). El triángulo \(HIJ\) se creó al dilatar el triángulo \(ABC\) usando \(\frac12\) como factor de escala y centro \(D\).

A triangle A B C, two images after dilation, point D and three dashed projection lines.
  1. ¿Cómo se vería la imagen del triángulo \(ABC\) al realizar una dilatación con 0 como factor de escala?

  2. ¿Cómo se vería la imagen del triángulo \(ABC\) al realizar una dilatación con -1 como factor de escala? De ser posible, dibújala y etiqueta los vértices con \(A’\), \(B’\) y \(C’\). Si no es posible, explica por qué.

  3. De ser posible, describe qué le pasa a una figura si se dilata con un factor de escala negativo. Si no es posible dilatar con un factor de escala negativo, explica por qué.

Resumen

Un uso importante de las coordenadas es el de comunicar información geométrica de manera precisa. Consideremos un cuadrilátero \(ABCD\) en el plano de coordenadas. Realizar una dilatación de \(ABCD\) requiere tres datos vitales:

  1. Las coordenadas de \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\)
  2. Las coordenadas del centro de dilatación, \(P\)
  3. El factor de escala de la dilatación

Con esta información, podemos dilatar los vértices \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) y luego dibujar los segmentos correspondientes para encontrar la dilatación de \(ABCD\). Sin coordenadas, describir la ubicación de los nuevos puntos probablemente requeriría compartir un dibujo del polígono y el centro de dilatación.

Entradas del glosario

  • centro de una dilatación

    El centro de una dilatación es un punto fijo en un plano. Es el punto desde el cual medimos las distancias en una dilatación.

    En este diagrama, el punto \(P\) es el centro de la dilatación.

    A dilation
  • dilatación

    Una dilatación es una transformación en la cual cada punto de una figura cambia su distancia a un punto fijo al moverse sobre la recta que pasa por el punto fijo. El punto fijo es el centro de la dilatación. Todas las distancias originales se multiplican por el mismo factor de escala.

    Por ejemplo, el triángulo \(DEF\) es una dilatación del triángulo \(ABC\). El centro de la dilatación es \(O\) y el factor de escala es 3.

    Esto significa que todos los puntos del triángulo \(DEF\) están 3 veces tan lejos de \(O\) como todos los puntos correspondientes del triángulo \(ABC\).

    2 triangles. Triangle DEF is a dilation of triangle ABC.
  • factor de escala

    Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Ese número se llama el factor de escala.

    En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque \(4 \boldcdot (1.5) = 6\), \(5 \boldcdot (1.5)=7.5\), and \(6 \boldcdot (1.5)=9\).

    2 triangles