Lección 7

Polígonos semejantes

Examinemos los lados y los ángulos de polígonos semejantes.

7.1: Todos, algunos, ninguno: congruencia y semejanza

Elige si cada una de las afirmaciones es verdadera en todos los casos, en algunos casos o en ningún caso. 

  1. Si dos figuras son congruentes, entonces son semejantes.
  2. Si dos figuras son semejantes, entonces son congruentes.
  3. Si una dilatación tiene como centro el vértice de un ángulo, la medida del ángulo puede cambiar.

7.2: ¿Son semejantes?

  1. Observemos un cuadrado y un rombo.
    Two figures. First, a square with sides each 2 units. Second a rhombus with sides each 2 units, angles 120, 60, 120, 60 degrees.

    Priya dice: "Estos polígonos son semejantes porque todas las longitudes de sus lados son iguales". Clare dice: "Estos polígonos no son semejantes porque los ángulos son diferentes". ¿Estás de acuerdo con Priya o con Clare? Explica tu razonamiento.
  2. Ahora, observemos los rectángulos \(ABCD\) y \(EFGH\).
    Two rectangles, first sides 4, 2, 4, 2 units. Second sides 6, 4, 6, 4.

    Jada dice: "Estos rectángulos son semejantes porque todas las longitudes de los lados difieren en 2". Lin dice: "Estos rectángulos son semejantes. Puedo dilatar \(AD\) y \(BC\) usando un factor de escala de 1.5 para hacer que los rectángulos sean congruentes. Luego, puedo usar una traslación para alinear los rectángulos". ¿Estás de acuerdo con Jada o con Lin? Explica tu razonamiento.


Rectangles.

Los ocho puntos desde \(A\) hasta \(H\) se trasladan a la derecha para crear los ocho puntos desde \(A'\) hasta \(H'\). Las siguientes figuras son rectángulos: \(GHBA\), \(FCED\), \(KH'C'J\) y \(LJE'A'\). ¿Qué es más grande, el área del rectángulo azul \(DFCE\) o el área total de los rectángulos amarillos \(KH'C'J\) y \(LJE'A'\)?

7.3: Encuentra alguno semejante

Tu profesor te entregará una tarjeta. Encuentra a alguien más en el salón que tenga una tarjeta con un polígono que sea semejante pero no congruente con el de tu tarjeta. Cuando hayas encontrado a tu compañero, trabajen juntos para explicar cómo saben que los dos polígonos son semejantes.



A la izquierda hay un triángulo equilátero al que se le han agregado líneas punteadas que muestran cómo un triángulo equilátero se puede dividir en triángulos semejantes más pequeños.

Two figures on a grid.

Encuentra una manera de hacer lo mismo en la figura a la derecha, dividiéndola en figuras más pequeñas que sean cada una semejantes a la figura original. ¿Cuál es el menor número de partes que puedes utilizar? ¿El mayor? 

Resumen

Cuando dos polígonos son semejantes:

  • Cada ángulo y lado en un polígono tiene una parte correspondiente en el otro polígono. 
  • Todas los pares de ángulos correspondientes tienen la misma medida. 
  • Los lados correspondientes se relacionan con un único factor de escala. Cada longitud del lado de una figura se multiplica por el factor de escala para obtener la longitud del lado correspondiente en la otra figura. 

Analiza los dos rectángulos que se muestran aquí. ¿Son semejantes?

Two rectangles on a grid. First A, B C D. A, B measures 4, and A, D measures 3. E F G H, E F measures 3, E H measures 2.

Parece que los rectángulos \(ABCD\) y \(EFGH\) podrían ser semejantes, si hacemos coincidir los lados largos y los lados cortos. Todos los ángulos correspondientes son congruentes porque todos son ángulos rectos. Al calcular el factor de escala entre los lados es cuando vemos que "parece" que no es suficiente para que sean semejantes. Para redimensionar el lado largo \(AB\) en el lado largo \(EF\), el factor de escala debe ser \(\frac34\), porque \(4 \boldcdot \frac34=3\). Pero el factor de escala para hacer coincidir \(AD\) con \(EH\) tiene que ser \(\frac23\), porque \(3\boldcdot \frac23=2\). Entonces, los rectángulos no son semejantes porque los factores de escala para todas las partes deben ser iguales. 

Este es un ejemplo que muestra cómo los lados pueden corresponder (con un factor de escala de 1), pero los cuadriláteros no son semejantes porque los ángulos no tienen la misma medida:

Two quadrilaterals each wides opposite sides of 2 units and 3 units. The left quadrilateral has four right angles and the right quadrilateral has opposite angle that are equal.

Entradas del glosario

  • semejantes

    Dos figuras son semejantes si una se puede hacer coincidir exactamente con la otra, al realizar una secuencia de transformaciones rígidas y dilataciones.

    En esta figura, el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\).

    Si \(ABC\) se rota alrededor del punto \(B\) y luego se dilata con centro \(O\), entonces va a coincidir exactamente con \(DEF\). Esto significa que son semejantes.