Lección 4
Dilataciones sobre una cuadrícula cuadrada
Dilatemos figuras sobre una cuadrícula cuadrada.
4.1: Estimemos un factor de escala
El punto \(C\) es la dilatación del punto \(B\) con centro de dilatación \(A\) y factor de escala \(s\). Estima \(s\). Prepárate para explicar tu razonamiento.
4.2: Dilataciones sobre una cuadrícula
- Encuentra la dilatación del cuadrilátero \(ABCD\) con centro \(P\) y factor de escala 2.
- Encuentra la dilatación del triángulo \(QRS\) con centro \(T\) y factor de escala 2.
- Encuentra la dilatación del triángulo \(QRS\) con centro \(T\) y factor de escala \(\frac{1}{2}\).
4.3: Clasificación de tarjetas: emparejemos dilataciones sobre una cuadrícula de coordenadas
El profesor les dará algunas tarjetas. Cada tarjeta de la 1 a la 6 muestra una figura en el plano de coordenadas y describe una dilatación.
Cada tarjeta de la A a la F describe la imagen de la dilatación de una de las tarjetas enumeradas.
Empareja las tarjetas de número con las tarjetas de letra. Una de las tarjetas de número no tiene pareja. Para esta tarjeta, tendrás que dibujar una imagen.
La imagen de un círculo al realizar una dilatación es un círculo cuando el centro de dilatación es el centro del círculo. ¿Qué pasa si el centro de dilatación es un punto del círculo? Usando como centro de dilatación \((0,0)\) y factor de escala 1.5, dilata el círculo que se muestra en el diagrama. Este diagrama muestra algunos puntos para intentar dilatar.
Resumen
Las cuadrículas cuadradas pueden ser útiles para mostrar dilataciones. La cuadrícula es útil especialmente cuando el centro de dilatación y los puntos que se están dilatando están sobre puntos de la cuadrícula. En lugar de usar una regla para medir la distancia entre los puntos, podemos contar unidades de la cuadrícula.
Por ejemplo, supongamos que queremos dilatar el punto \(Q\) con centro de dilatación \(P\) y factor de escala \(\frac{3}{2}\). Como \(Q\) está 4 cuadrados de la cuadrícula a la izquierda y 2 cuadrados de la cuadrícula abajo de \(P\), la dilatación estará 6 cuadrados de la cuadrícula a la izquierda y 3 cuadrados de la cuadrícula abajo de \(P\) (¿puedes ver por qué?). La imagen dilatada está marcada como \(Q’\) en el diagrama.
Algunas veces, la cuadrícula cuadrada viene sin coordenadas. La cuadrícula de coordenadas nos da una manera conveniente de nombrar puntos y a veces las coordenadas de la imagen se pueden encontrar solo con aritmética.
Por ejemplo, para hacer una dilatación con centro \((0,0)\) y factor de escala 2 del triángulo con coordenadas \((\text-1, \text- 2)\), \((3,1)\) y \((2, \text- 1)\), podemos solamente duplicar las coordenadas para obtener \((\text- 2, \text- 4)\), \((6,2)\), y \((4, \text- 2)\).
Entradas del glosario
- centro de una dilatación
El centro de una dilatación es un punto fijo en un plano. Es el punto desde el cual medimos las distancias en una dilatación.
En este diagrama, el punto \(P\) es el centro de la dilatación.
- dilatación
Una dilatación es una transformación en la cual cada punto de una figura cambia su distancia a un punto fijo al moverse sobre la recta que pasa por el punto fijo. El punto fijo es el centro de la dilatación. Todas las distancias originales se multiplican por el mismo factor de escala.
Por ejemplo, el triángulo \(DEF\) es una dilatación del triángulo \(ABC\). El centro de la dilatación es \(O\) y el factor de escala es 3.
Esto significa que todos los puntos del triángulo \(DEF\) están 3 veces tan lejos de \(O\) como todos los puntos correspondientes del triángulo \(ABC\).
- factor de escala
Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Ese número se llama el factor de escala.
En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque \(4 \boldcdot (1.5) = 6\), \(5 \boldcdot (1.5)=7.5\), and \(6 \boldcdot (1.5)=9\).
