Lección 6
Semejanza
Exploremos figuras semejantes.
6.1: Expresiones equivalentes
Utiliza lo que sabes sobre operaciones y sus propiedades para escribir tres expresiones equivalentes a la expresión que se muestra.
\(\displaystyle 10 (2 + 3) - 8 \boldcdot 3\)
6.2: Transformaciones de semejanza (Parte 1)
-
El triángulo \(EGH\) y el triángulo \(LME\) son semejantes. Encuentra una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que muestre esto.
-
El hexágono \(ABCDEF\) y el hexágono \(HGLKJI\) son semejantes. Encuentra una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que muestre esto.
La misma secuencia de transformaciones lleva el triángulo A al triángulo B, lleva el triángulo B al triángulo C, y así sucesivamente. Describe una secuencia de transformaciones con esta característica.
![A sequence of transformations on a circular grid. Ask for further assistance.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/KMuUhg6wm3GqJAB7VEKu8SD1?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.B1.Image.04.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.B1.Image.04.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T003707Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=278e71e6bfd72291ca3efa179eeb5638b2fa9c5ceea29fb145099b61d45a24d9)
6.3: Transformaciones de semejanza (Parte 2)
Dibuja figuras semejantes a la figura A, que solo utilicen las transformaciones enumeradas, para mostrar la semejanza.
![Figure A, left, bottom, and right sides at right angles, left side taller than right side. A V shape connects the top left to the top right.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/k4o6A4fDnn5vB6tpQUoDixb4?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.B1.Image.05.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.B1.Image.05.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T003707Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=51a7a3e264a8e3b9a346cfa0938e2d3ee6980e880f9abf73b77576145836bf28)
- Una traslación y una reflexión. Etiqueta tu dibujo como figura B.
Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. - Una reflexión y una dilatación con un factor de escala mayor que 1. Etiqueta tu dibujo como figura C.
- Una rotación y una reflexión. Etiqueta tu dibujo como figura D.
- Una dilatación con un factor de escala menor que 1 y una traslación. Etiqueta tu dibujo como figura E.
6.4: Métodos para traslaciones y dilataciones
Tu profesor te entregará un juego de cinco tarjetas y a tu compañero le entregará un juego distinto de cinco tarjetas. Usando solo las tarjetas que te entregaron, encuentra al menos una manera de mostrar que el triángulo \(ABC\) y el triángulo \(DEF\) son semejantes. Compara tu método con el método de tu compañero. ¿En qué se parecen sus métodos? ¿En qué se diferencian?
![A point P on a grid. Triangle A, B C. Point A 4 below P, point B is 4 right from A, point C 2 up from B. Triangle D E F. Point D 12 below P, point E is 12 right from D, point F is 6 up from E.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/ENbpNrqNjVtwFAoL8Npxbvqd?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.B1.Image.08.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.B1.Image.08.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T003707Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=c026e8bf8cf2ff51d235dd71b9a07cebf583f9e12dc8edf6fe8d40a33704c65d)
Resumen
Mostremos que el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\):
![Similar triangles. Ask for further assistance.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/wwPSqyykVndXZ6ViMHLKpMWU?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.2.B1.Image.10.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.2.B1.Image.10.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T003707Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=be9093e7b2b9483ecc0098fda142617fe1e5000d9b6f389a949a90507a710652)
Dos figuras son semejantes si una figura se puede transformar en la otra por medio de una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones. Existen muchas secuencias correctas de transformaciones, pero solo debemos describir una secuencia para mostrar que dos figuras son semejantes.
Una manera de pasar de \(ABC\) a \(DEF\) es seguir estos pasos:
- paso 1: reflejar con respecto a la recta \(f\)
- paso 2: rotar \(90^\circ\) en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de \(D\)
- paso 3: dilatar con centro \(D\) y factor de escala 2
![](https://cms-im.s3.amazonaws.com/j5Es97k8jgags3rvFuv9XkbM?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228.2.B6.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278.2.B6.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T003707Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=84205c1ada505adf602cfa8ab13cdf723b155605032e99563efd775ee8950f5e)
Otra manera sería dilatar el triángulo \(ABC\) con un factor de escala de 2 y con centro de dilatación \(A\), luego trasladar \(A\) a \(D\), después reflejar con respecto a una recta vertical que pasa por \(D\) y finalmente rotarlo para que coincida con el triángulo \(DEF\). ¿Qué pasos escogerías para mostrar que los dos triángulos son semejantes?
Entradas del glosario
- semejantes
Dos figuras son semejantes si una se puede hacer coincidir exactamente con la otra, al realizar una secuencia de transformaciones rígidas y dilataciones.
En esta figura, el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\).
Si \(ABC\) se rota alrededor del punto \(B\) y luego se dilata con centro \(O\), entonces va a coincidir exactamente con \(DEF\). Esto significa que son semejantes.