Lección 2

Cuadrícula circular

Dilatemos figuras sobre cuadrículas circulares.

2.1: Observa y pregúntate: círculos concéntricos

Blank circular grid.

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

2.2: Una gota en la superficie

El círculo grande d es una dilatación del círculo pequeño c. \(P\) es el centro de dilatación. 

  1. Dibuja cuatro puntos sobre el círculo más pequeño (¡no dentro del círculo!) y etiquétalos \(E\), \(F\), \(G\) y \(H\).
  2. Dibuja los rayos desde \(P\) que pasan por estos cuatro puntos.
  3. Etiqueta los puntos en los que los rayos se encuentran con el círculo más grade \(E’\), \(F’\), \(G’\) y \(H’\).
Two circles c and d on a circular grid with center point P. Circle c has radius 2 and circle d has radius 6.

4. Completa la tabla. En la fila etiquetada S, escribe la distancia entre \(P\) y el punto del círculo más pequeño, en unidades de la cuadrícula. En la fila etiquetada L, escribe la distancia entre \(P\) y el punto correspondiente en el círculo más grande, en unidades de la cuadrícula.

  \(E\) \(F\) \(G\) \(H\)
S        
L        

5. El centro de dilatación es el punto \(P\). ¿Cuál es el factor de escala que lleva el círculo más pequeño al círculo más grande? Explica tu razonamiento.

2.3: Cuadrilátero sobre una cuadrícula circular

Este es un polígono \(ABCD\).

  1. Dilata cada vértice del polígono \(ABCD\) usando \(P\) como centro de dilatación y un factor de escala 2. Etiqueta la imagen de \(A\) con \(A’\) y etiqueta las imágenes de los tres vértices restantes con \(B’\), \(C’\) y \(D’\).
  2. Dibuja segmentos entre los puntos dilatados para crear el polígono \(A’B’C’D’\).

  3. ¿Cuáles son algunas cosas que observas sobre el nuevo polígono?

Quadrilateral A B C D on a circular grid with center point P. The coordinates of A B C D are A(negative 4 comma negative 1), B(negative 2 comma 2), C(5 comma 1) and D(3 comma negative 1).

4. Elige algunos puntos más en los lados del polígono original y transfórmalos usando la misma dilatación. ¿Qué observas?

5. Dilata cada vértice del polígono \(ABCD\) usando \(P\) como centro de dilatación y un factor de escala \(\frac{1}{2}\). Etiqueta la imagen de \(A\) con \(E\), la imagen de \(B\) con \(F\), la imagen de \(C\) con \(G\) y la imagen de \(D\) con \(H\).

6. ¿Qué observas sobre el polígono \(EFGH\)?



Supongamos que \(P\) es un punto que no está sobre el segmento de recta \(\overline{WX}\). Llamemos \(\overline{YZ}\) a la dilatación del segmento de recta \(\overline{WX}\) que usa \(P\) como centro y tiene factor de escala 2. Experimenta con una cuadrícula circular para hacer predicciones acerca de si cada uno de los siguientes enunciados tiene que ser verdadero, puede ser verdadero o tiene que ser falso.

  1. \(\overline{YZ}\) es el doble de largo que \(\overline{WX}\).
  2. \(\overline{YZ}\) mide 5 unidades más que \(\overline{WX}\).
  3. El punto \(P\) está sobre \(\overline{YZ}\).
  4. \(\overline{YZ}\) y \(\overline{WX}\) se intersecan.

2.4: Un cuadrilátero y círculos concéntricos

Quadrilateral E F G H, center point Q and ray Q F on a circular grid.

Dilata el polígono \(EFGH\) usando \(Q\) como el centro de dilatación y un factor de escala \(\frac13\). La imagen de \(F\) ya se muestra en el diagrama. (Puede que tengas que dibujar más rayos que salgan de \(Q\) para encontrar las imágenes de otros puntos).

Resumen

Una cuadrícula circular como esta puede ser útil para realizar dilataciones.

El radio del círculo más pequeño mide una unidad y el radio de cada círculo sucesivo mide una unidad más que el anterior.

Blank circular grid.

Para realizar una dilatación, necesitamos un centro de dilatación, un factor de escala y un punto para dilatar. En el diagrama, \(P\) es el centro de dilatación. Con un factor de escala 2, cada punto queda sobre el mismo rayo desde \(P\), pero su distancia desde \(P\) se duplica:

Point P, triangle A B C and its image triangle A prime B prime and C prime.

Como los círculos de la cuadrícula están a la misma distancia, el segmento \(PA'\) tiene el doble de la longitud del segmento \(PA\) y lo mismo es cierto para los otros puntos.

Entradas del glosario

  • centro de una dilatación

    El centro de una dilatación es un punto fijo en un plano. Es el punto desde el cual medimos las distancias en una dilatación.

    En este diagrama, el punto \(P\) es el centro de la dilatación.

    A dilation
  • dilatación

    Una dilatación es una transformación en la cual cada punto de una figura cambia su distancia a un punto fijo al moverse sobre la recta que pasa por el punto fijo. El punto fijo es el centro de la dilatación. Todas las distancias originales se multiplican por el mismo factor de escala.

    Por ejemplo, el triángulo \(DEF\) es una dilatación del triángulo \(ABC\). El centro de la dilatación es \(O\) y el factor de escala es 3.

    Esto significa que todos los puntos del triángulo \(DEF\) están 3 veces tan lejos de \(O\) como todos los puntos correspondientes del triángulo \(ABC\).

    2 triangles. Triangle DEF is a dilation of triangle ABC.
  • factor de escala

    Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Ese número se llama el factor de escala.

    En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque \(4 \boldcdot (1.5) = 6\), \(5 \boldcdot (1.5)=7.5\), and \(6 \boldcdot (1.5)=9\).

    2 triangles