Lección 9

Cocientes de longitudes de los lados de triángulos semejantes

9.1: Dos-tres-cuatro y cuatro-cinco-seis

Las longitudes de los lados del triángulo \(A\) son 2, 3 y 4. Las longitudes de los lados del triángulo \(B\) son 4, 5 y 6. ¿El triángulo \(A\) es semejante al triángulo \(B\)?

9.2: Cocientes de lados en triángulos semejantes

El triángulo \(ABC\) es semejante a los triángulos \(DEF\), \(GHI\) y \(JKL\). Los factores de escala de las dilataciones que muestran que el triángulo \(ABC\) es semejante a cada triángulo están en la tabla.

Triangle A, B C. Side A, B length 4, side B C length 7, side C A, length 5.

  1. Encuentra las longitudes de los lados de los triángulos \(DEF\), \(GHI\) y \(JKL\). Escríbelas en la tabla.

    triángulo factor de escala longitud del
    lado corto    		 longitud del
    lado mediano    		 longitud del
    lado largo
    \(ABC\) 1 4 5 7
    \(DEF\) 2      
    \(GHI\) 3      
    \(JKL\) \(\frac{1}{2}\)      

  2. El profesor te asignará una de las tres columnas. En los cuatro triángulos, encuentra el cociente de las longitudes de los lados que se te asignaron y escríbelos en la tabla. ¿Qué observas en estos cocientes? 

    triángulo (lado largo) \(\div\) (lado corto) (lado largo) \(\div\) (lado mediano) (lado mediano) \(\div\) (lado corto)
    \(ABC\) \(\frac{7}{4}\) o \(1.75\)    
    \(DEF\)      
    \(GHI\)      
    \(JKL\)      
  3. Compara tus resultados con los de tus compañeros y completa la tabla.


Los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) son semejantes. Explica por qué \(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\).

Two triangles. First A, B C. Second D E F.

9.3: Usemos los cocientes de los lados para encontrar las longitudes de los lados de triángulos semejantes

Los triángulos \(ABC\), \(EFD\) y \(GHI\) son semejantes. Todas las longitudes de los lados de los triángulos tienen las mismas unidades. Encuentra las longitudes de los lados que son desconocidas. 

Three triangles.

 

Resumen

Si dos polígonos son semejantes, entonces las longitudes de los lados de un polígono se multiplican por el mismo factor de escala para obtener las longitudes de los lados correspondientes del otro polígono.

Para estos triángulos el factor de escala es 2:

Two triangles. First, A, B C. Length A, B, 5, length B C, 4, length C A, 3. Second, A, prime B prime C prime. Length A, prime B prime, 10, B prime C prime 8, C prime A, prime.

Esta es una tabla que muestra las relaciones entre la longitud de los lados corto y mediano del triángulo pequeño y del grande.

  triángulo pequeño triángulo grande
lado mediano 4 8
lado corto 3 6
(lado mediano) \(\div\) (lado corto) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

Las longitudes del lado mediano y del lado corto tienen una razón de \(4:3\). Esto significa que el lado mediano de cada triángulo es \(\frac43\) tan largo como el lado corto. Esto se cumple para todos los polígonos semejantes; la razón entre dos lados en un polígono es igual a la razón de los lados correspondientes de un polígono semejante.

Podemos usar estos hechos para calcular las longitudes que faltan en polígonos semejantes. Por ejemplo, los triángulos \(A’B’C’\) y \(ABC\) que se muestran aquí son semejantes. Encontremos la longitud del segmento \(B’C’\).

En el triángulo \(ABC\), el lado \(BC\) es el doble de largo que el lado \(AB\), entonces esto debe cumplirse para cualquier triángulo que sea semejante al triángulo \(ABC\). Dado que \(A'B'\) tiene 1.2 unidades de largo y \(2\boldcdot 1.2 = 2.4\), la longitud del lado \(B’C’\) es 2.4 unidades.

Two triangles. First, A, B C. Length A, B, 3, length B C,6. Second, A, prime B prime C prime. Length A, prime B prime, 1 point 2.

Entradas del glosario

  • semejantes

    Dos figuras son semejantes si una se puede hacer coincidir exactamente con la otra, al realizar una secuencia de transformaciones rígidas y dilataciones.

    En esta figura, el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\).

    Si \(ABC\) se rota alrededor del punto \(B\) y luego se dilata con centro \(O\), entonces va a coincidir exactamente con \(DEF\). Esto significa que son semejantes.