Lección 13

Rectángulos con lados de longitud fraccionaria

Exploremos rectángulos que tienen medidas fraccionarias.

13.1: Áreas de cuadrados

Three squares. The first square is labeled with side length 1 inch on the vertical side and 1 inch on the horizontal side. The second square is labeled with side length one half inch on the vertical side and one half inch on the horizontal side. The third square is labeled with side length 2 inches on the vertical side and 2 inches on the horizontal side.
  1. ¿Qué observas sobre el área de los cuadrados?
  2. Kiran dice: "Un cuadrado con lado de longitud \(\frac13\) de pulgada tiene un área de \(\frac13\) pulgadas cuadradas". ¿Estás de acuerdo? Explica o muestra tu razonamiento.

13.2: Áreas de cuadrados y rectángulos

Tu profesor te dará papel cuadriculado y una regla.

  1. En el papel cuadriculado, dibuja un cuadrado con lado de longitud de 1 pulgada. Dentro de este cuadrado, dibuja otro cuadrado con lado de longitud de \(\frac14\) de pulgada. Usa tu dibujo para responder las preguntas.

    1. ¿Cuántos cuadrados con lado de longitud de \(\frac 14\) de pulgada caben en un cuadrado con lado de longitud de 1 pulgada?
    2. ¿Cuál es el área de un cuadrado con lado de longitud de \(\frac 14\) de pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

  2. En el papel cuadriculado, dibuja un rectángulo de \(3\frac12\) pulgadas por \(2\frac14\) pulgadas.

    Para cada pregunta, escribe una expresión de división y luego responde la pregunta.

    1. ¿Cuántos segmentos de \(\frac14\) de pulgada hay en una longitud de \(3\frac12\) pulgadas?
    2. ¿Cuántos segmentos de \(\frac14\) de pulgada hay en una longitud de \(2\frac14\) pulgadas?
  3. Usa tus dibujos para mostrar que un rectángulo de \(3\frac12\) pulgadas por \(2\frac14\) pulgadas tiene un área de \(7\frac 78\) pulgadas cuadradas.

13.3: Áreas de rectángulos

Cada una de estas expresiones multiplicativas representa el área de un rectángulo.

\(2 \boldcdot 4\)

\(2\frac12 \boldcdot 4\)

\(2 \boldcdot 4\frac 34\)

\(2\frac12 \boldcdot 4\frac34\)

  1. Todas las regiones sombreadas en azul claro tiene la misma área. Empareja cada diagrama con la expresión de multiplicación que piensas que representa su área. Prepárate para explicar tu razonamiento.

    Four vertically oriented rectangles labeled A, B, C, D. 
  2. Usa el diagrama que corresponde a \(2\frac12 \boldcdot 4\frac34\) para mostrar que \(2\frac12 \boldcdot 4\frac34\) es \(11\frac78\).


Los siguientes rectángulos están compuestos por cuadrados y cada rectángulo está construido usando el rectángulo anterior. La longitud de lado del primer cuadrado es 1 unidad.

A sequence of rectangles composed of squares. 

  1. Dibuja los siguientes cuatro rectángulos que se construyen con la misma lógica. Después, completa la tabla con la longitud de los lados del rectángulo y la fracción del lado largo sobre el lado corto.

    lado corto lado largo \(\frac {\text {lado largo}}{\text{lado corto}}\)
    1    
    1    
    2    
    3    
         
         
         
         
         
     
  2. Describe los valores de la fracción del lado largo sobre el lado corto. ¿Qué le pasa a la fracción a medida que el patrón continúa?

13.4: ¿Cuántos necesitaría? (Parte 2)

Noah desea cubrir una bandeja rectangular con baldosas rectangulares. La bandeja tiene un ancho de \(11\frac14\) pulgadas y un área de \(50\frac58\) pulgadas cuadradas.

  1. Encuentra el largo de la bandeja en pulgadas.
  2. Si las baldosas son de \(\frac{3}{4}\) de pulgada por \(\frac{9}{16}\) de pulgada, ¿cuántas necesitaría Noah para cubrir completamente la bandeja, sin huecos ni superposiciones? Explica tu razonamiento.
  3. Dibuja un diagrama para mostrar cómo podría Noah colocar las baldosas. Tu diagrama debe mostrar cuántas baldosas se necesitarían para cubrir el largo y el ancho de la bandeja, pero no es necesario que muestre todas las baldosas.

Resumen

Si un rectángulo tiene lados de longitud \(a\) unidades y \(b\) unidades, el área es \(a \boldcdot b\) unidades cuadradas. Por ejemplo, si tenemos un rectángulo con lados de longitud \(\frac12\) pulgada, su área es \(\frac12 \boldcdot \frac12\) o \(\frac14\) pulgadas cuadradas.

A square. 

Esto implica que si conocemos el área y la longitud de un lado de un rectángulo, podemos dividir para encontrar la longitud del otro lado.

A rectangle with the horizontal side labeled 10 and one half inches and the vertical side labeled with a question mark. In the center of the rectangle, 89 and one fourth square inches is indicated.

  

Si la longitud de un lado de un rectángulo es \(10\frac12\) in y su área es \(89\frac14\) in2, podemos escribir esta ecuación para mostrar su relación: \(\displaystyle 10\frac12  \boldcdot {?} =89\frac14\).

Posteriormente, podemos encontrar la longitud del otro lado en pulgadas usando la división: \(\displaystyle 89\frac14 \div 10\frac12 = {?}\)