Lección 10

Trabaja con un compañero. Una persona resuelve los problemas etiquetados "Compañero A" y la otra aquellos etiquetados "Compañero B". Escribe una ecuación para cada pregunta. Si tienes dificultades, considera dibujar un diagrama.

1. Compañero A:

   ¿Cuántos 3 hay en 12?

   Ecuación de división:

   

   

   ¿Cuántos 4 hay en 12?

   Ecuación de división:

   

   

   ¿Cuántos 6 hay en 12?

   Ecuación de división:

   

   

   Compañero B:

   ¿Cuánto es 12 grupos de \(\frac 13\)?

   Ecuación de multiplicación:

   

   

   ¿Cuánto es 12 grupos de \(\frac 14\)?

   Ecuación de multiplicación:

   

   

   ¿Cuánto es 12 grupos de \(\frac 16\)?

   Ecuación de multiplicación:

   

   

2. ¿Qué observas en los diagramas y las ecuaciones? Discútelo con tu compañero.

3. Completa esta frase basado en tus observaciones:

   Dividir entre un número entero \(a\) produce el mismo resultado que multiplicar por _____________ .

Para encontrar el valor de \(6 \div \frac 12\), Elena pensó: "¿Cuántos \(\frac 12\) hay en 6?" y luego dibujó este diagrama de cinta. Muestra 6 unidades, donde cada una está dividida en 2 pedazos iguales.

\(6 \div \frac 12\)

1. Para cada expresión de división, completa el diagrama usando el mismo método que usó Elena. Después, halla el valor de la expresión.

   1. \(6 \div \frac 13\)

      

      Valor de la expresión: ____________

   2. \(6 \div \frac 14\)

      

      Valor de la expresión: ____________

   3. \(6 \div \frac 16\)

      

      Valor de la expresión: ____________

2. Analiza las expresiones y tus respuestas. Busca un patrón. ¿Cómo podrías encontrar cuántos mitades, tercios, cuartos o sextos hay en 6 sin contar todos de ellos? Explica tu razonamiento.

3. Usa el patrón que observaste para encontrar los valores de estas expresiones. Si tienes dificultades, considera dibujar un diagrama.

   1. \(6 \div \frac 18\)
   2. \(6 \div \frac {1}{10}\)
   3. \(6 \div \frac {1}{25}\)
   4. \(6 \div \frac {1}{b}\)

4. Encuentra el valor de cada expresión.

   1. \(8 \div \frac 14\)
   2. \(12 \div \frac 15\)
   3. \(a \div \frac 12\)
   4. \(a \div \frac {1}{b}\)

1. Para encontrar el valor de \(6 \div \frac 23\), Elena primero dibujó su diagrama de la misma manera en que dibujó el que usó para \(6 \div \frac 13\).

   

   

   1. Comlpeta el diagrama para mostrar cuántos \(\frac 23\) hay en 6.

   2. Elena dice: "Para encontrar \(6 \div \frac23\), yo puedo simplemente tomar el valor de \(6 \div \frac13\) y después o multiplicarlo por \(\frac 12\) o dividirlo entre 2". ¿Estás de acuerdo con ella? Explica tu razonamiento.

2. Para cada expresión de división, completa el diagrama usando el mismo método que usó Elena. Después, halla el valor de la expresión. Piensa en cómo podrías encontrar el valor de cada expresión sin contar todos los pedazos en tu diagrama.

   1. \(6 \div \frac 34\)

      

      

      Valor de la expresión:___________

   2. \(6 \div \frac 43\)

      

      

      Valor de la expresión:___________

   3. \(6 \div \frac 46\)

      

      

      Valor de la expresión:___________

3. Elena estudió sus diagramas y observó que siempre hacía los mismos dos pasos para representar la división por una fracción en un diagrama de cinta. Ella dijo:

   "Mi primer paso fue dividir cada unidad del diagrama en tantas partes como las que representa el número en el denominador. Es decir, si la expresión es \(6 \div \frac 34\), divido cada unidad del diagrama en 4 pedazos. Ahora el número de pedazos que tengo es 4 veces el número de unidades.

   Mi segundo paso fue poner cierto número de esos pedazos en un grupo, y ese número es el numerador del divisor. Es decir, si la fracción es \(\frac34\), pongo cada 3 de los \(\frac 14\) en un grupo. En ese momento puedo decir cuántos \(\frac 34\) hay en 6".

   ¿Qué expresión representa cuántos \(\frac 34\) tendría Elena después de estos dos pasos? Prepárate para explicar tu razonamiento.

   • \(6 \div 4 \boldcdot 3\)
   • \(6 \div 4 \div 3\)

   • \(6 \boldcdot 4 \div 3\)
   • \(6 \boldcdot 4 \boldcdot 3\)

4. Usa el patrón que observó Elena para encontrar los valores de estas expresiones. Si tienes dificultades, considera dibujar un diagrama.

   1. \(6 \div \frac27\)
   2. \(6\div\frac{3}{10}\)
   3. \(6 \div \frac {6}{25}\)

Para contestar a la pregunta "¿Cuántos \(\frac 13\) hay en 4?" o "¿Cuánto es \(4 \div \frac 13\)?", podemos pensar que hay 3 tercios en 1, así que hay \((4\boldcdot 3)\) tercios en 4.

En otras palabras, dividir 4 entre \(\frac13\) da el mismo resultado que multiplicar 4 por 3.

\(\displaystyle 4\div \frac13 = 4 \boldcdot 3\)

En general, dividir un número entre una fracción unitaria \(\frac{1}{b}\) es lo mismo que multiplicar el número por \(b\), que es el recíproco de \(\frac{1}{b}\).

¿Cómo podemos razonar sobre \(4 \div \frac23\)?

Ya sabemos que hay \((4\boldcdot 3)\) o 12 grupos de \(\frac 13\) en 4. Para encontrar cuántos \(\frac23\) hay en 4, necesitamos unir cada 2 de la fracción \(\frac13\) en un grupo. Hacer esto da como resultado la mitad de los grupos, que es 6 grupos. En otras palabras:

\(\displaystyle 4 \div \frac23 = (4 \boldcdot 3) \div 2\)

o

\(\displaystyle 4 \div \frac23 = (4 \boldcdot 3) \boldcdot \frac 12\)

En general, dividir un número entre \(\frac{a}{b}\) es lo mismo que multiplicar el número por \(b\) y después dividir entre \(a\); o multiplicar el número por \(b\) y después por \(\frac{1}{a}\).