Lección 14

Triángulos y prismas con longitudes fraccionarias

Exploremos el área y el volumen cuando hay fracciones involucradas.

14.1: Área del triángulo

Encuentra el área del triángulo A en centímetros cuadrados. Muestra tu razonamiento.

Triangle labeled A.

14.2: Bases y alturas de triángulos

  1. El área del triángulo B es 8 unidades cuadradas. Encuentra la longitud de \(b\). Muestra tu razonamiento.

    Triangle labeled B.. 

  2. El área del triángulo C es \(\frac{54}{5}\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud de \(h\)? Muestra tu razonamiento.

    Triangle labeled C.

14.3: Volúmenes de cubos y prismas

Tu profesor te entregará cubos con una longitud de arista de \(\frac12\) pulgada.

  1. Este es un dibujo de un cubo con una longitud de arista de 1 pulgada.

    A cube with the height, length, and width each labeled “1 inch.”
    1. ¿Cuántos cubos con una longitud de arista de \(\frac12\) pulgada se necesitan para llenar este cubo?
    2. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con una longitud de arista de \(\frac12\) pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Cuatro cubos están apilados en una sola torre para formar un prisma. Cada cubo tiene una longitud de arista de \(\frac12\) pulgada. Dibuja el prisma y encuentra su volumen en pulgadas cúbicas.

  3. Usa cubos con una longitud de arista de \(\frac12\) pulgada para construir prismas con los largos, anchos y alturas que se muestran en la tabla.

    1. Para cada prisma, escribe en la tabla cuántos cubos de \(\frac12\) pulgada caben en el prisma y el volumen del prisma.

      largo del prisma (in) ancho del prisma (in) altura del prisma (in) número de cubos de \(\frac12\) pulgada dentro del prisma volumen del prisma (pulgadas cúbicas)
      \(\frac12\) \(\frac12\) \(\frac12\)    
      1 1 \(\frac12\)    
      2 1 \(\frac12\)    
      2 2 1    
      4 2 \(\frac32\)    
      5 4 2    
      5 4 \(2\frac12\)    

    2. Analiza los valores de la tabla. ¿Qué observas sobre la relación entre las longitudes de arista de cada prisma y su volumen?

  4. ¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular de \(1\frac12\) pulgada por \(2\frac14\) pulgadas por 4 pulgadas? Muestra tu razonamiento.


Una fracción unitaria tiene un 1 en el numerador.

  • Estas son fracciones unitarias: \(\frac13, \frac{1}{100}, \frac11\).
  • Estas no son fracciones unitarias: \(\frac29, \frac81, 2\frac15\).

  1. Encuentra tres fracciones unitarias cuya suma sea \(\frac12\). Por ejemplo: \(\frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac12\) ¿Cuántos ejemplos como este puedes encontrar?

  2. Encuentra una caja cuya área de superficie en unidades cuadradas sea igual a su volumen en unidades cúbicas. ¿Cuántas así puedes encontrar?

Resumen

Si un prisma rectangular tiene longitudes de arista de 2 unidades, 3 unidades y 5 unidades, podemos imaginarlo como 2 capas de cubos unitarios, donde cada capa tiene \((3 \boldcdot 5)\) cubos unitarios. Así que el volumen, en unidades cúbicas, es: \(\displaystyle 2\boldcdot 3\boldcdot 5\)

Two layers of unit cubes. Each layer has edge lengths of 1 unit, 3 units, and 5 units. The figure is labeled 2 times 3 times 5.

Para encontrar el volumen de un prisma rectangular con longitudes de arista fraccionarias, podemos imaginarlo como si estuviera formado por cubos que tienen una fracción unitaria como longitud de arista. Por ejemplo, si construimos un prisma de \(\frac12\) pulgada de altura, \(\frac32\) pulgadas de ancho y 4 pulgadas de largo usando cubos con longitud de arista de \(\frac12\) pulgada, tendríamos:

  • Una altura de 1 cubo, ya que \(1 \boldcdot \frac 12 = \frac12\)
  • Un ancho de 3 cubos, ya que \(3 \boldcdot \frac 12 = \frac32\)
  • Un largo de 8 cubos, ya que \(8 \boldcdot \frac 12 = 4\)

El volumen del prisma sería \(1 \boldcdot 3 \boldcdot 8\) o 24 unidades cúbicas. ¿Cómo encontramos su volumen en pulgadas cúbicas? Sabemos que cada cubo con una longitud de arista de \(\frac12\) pulgada tiene un volumen de \(\frac 18\) pulgadas cúbica, ya que \(\frac 12 \boldcdot \frac 12 \boldcdot \frac 12 = \frac18\). Como el prisma se construyó usando 24 de estos cubos, su volumen, en pulgadas cúbicas, sería \(24 \boldcdot \frac 18\) o 3 pulgadas cúbicas. El volumen del prisma, en pulgadas cúbicas, también se puede encontrar multiplicando las longitudes de arista fraccionarias en pulgadas: \(\textstyle \frac 12 \boldcdot  \frac 32 \boldcdot 4 = 3\).