Lección 21
Cilindros, conos y esferas
Encontremos el volumen de figuras.
21.1: Discusión sobre la esfera
Cuatro estudiantes calcularon el volumen de una esfera de 9 centímetros de radio y obtuvieron cuatro respuestas diferentes.
- Han piensa que es 108 centímetros cúbicos.
- Jada obtuvo \(108\pi\) centímetros cúbicos.
- Tyler calculó 972 centímetros cúbicos.
- Mai dice que es \(972\pi\) centímetros cúbicos.
¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.
21.2: El radio de la esfera
El volumen de esta esfera de radio \(r\) es \(V=288\pi\). Este enunciado es verdadero:
21.3: Falta de información: dimensiones desconocidas
Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu compañero.
Si tu profesor te da la tarjeta de problema:
-
Lee tu tarjeta en silencio y piensa en lo que necesitas saber para poder contestar a la pregunta.
-
Pide a tu compañero la información específica que necesites.
-
Explica cómo estás usando la información para resolver el problema.
Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para solucionar el problema.
-
Comparte la tarjeta de problema y soluciona el problema independientemente.
-
Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.
Si tu profesor te da la tarjeta de datos:
-
Lee tu tarjeta en silencio.
-
Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?” y espera a que te pida la información.
Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.
-
Antes de compartir la información, pregunta “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha el razonamiento de tu compañero y haz preguntas que te ayuden a aclarar tus dudas.
-
Lee la tarjeta de problema y soluciona el problema independientemente.
-
Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.
Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas y repite la actividad, intercambiando roles con tu compañero.
21.4: La capacidad correcta
Un cilindro con diámetro de 3 centímetros y altura de 8 centímetros se llena con agua. Decide cuáles de las siguientes figuras, si hay alguna, podrían contener toda el agua del cilindro. Explica tu razonamiento.
- Un cono con una altura de 8 centímetros y un radio de 3 centímetros.
- Un cilindro con un diámetro de 6 centímetros y una altura de 2 centímetros.
- Un prisma rectangular con un largo de 3 centímetros, ancho de 4 centímetros y altura de 8 centímetros.
- Una esfera con un radio de 2 centímetros.
Un cuervo sediento quiere elevar el nivel del agua de un recipiente cilíndrico para poder alcanzar el agua con su pico.
- El contenedor tiene un diámetro de 2 pulgadas y una altura de 9 pulgadas.
- El nivel del agua es actualmente de 6 pulgadas.
- El cuervo puede alcanzar el agua si esta está a 1 pulgada de la parte superior del recipiente.
Resumen
La fórmula
\(\displaystyle V=\frac43 \pi r^3\)
da el volumen de una esfera de radio \(r\). Podemos usar la fórmula para encontrar el volumen de una esfera de radio conocido. Por ejemplo, si el radio de una esfera es de 6 unidades, entonces el volumen será
\(\displaystyle \frac{4}{3} \pi (6)^3 = 288\pi\)
o aproximadamente \(904\) unidades cúbicas. También podemos usar la fórmula para encontrar el radio de una esfera si solo conocemos su volumen. Por ejemplo, si sabemos que el volumen de una esfera es \(36 \pi\) unidades cúbicas, pero desconocemos el radio, entonces esta ecuación es verdadera:
\(\displaystyle 36\pi=\frac43\pi r^3\)
Esto significa que \(r^3 = 27\) y, por lo tanto, el radio \(r\) tiene que ser 3 unidades para que cada lado de la ecuación tenga el mismo valor.
Muchos objetos comunes, desde botellas de agua hasta edificios y globos tienen una forma semejante a la de los prismas rectangulares, cilindros, conos y esferas (¡o incluso combinaciones de estas formas!). Al usar las fórmulas de volumen para estas figuras podemos comparar el volumen de diferentes tipos de objetos, a veces con resultados sorprendentes.
Por ejemplo, una caja en forma de cubo cuyo lado tiene una longitud de 3 centímetros contiene menos que una esfera con un radio de 2 centímetros, porque el volumen del cubo es 27 centímetros cúbicos (\(3^3 = 27\)) y el volumen de la esfera es aproximadamente 33.51 centímetros cúbicos (\(\frac43\pi \boldcdot 2^3 \approx 33.51\)).