Lección 19

Estimemos el volumen de un hemisferio

Estimemos el volumen de los hemisferios con figuras que conocemos. 

19.1: Observa y pregúntate: dos figuras

Estas son dos figuras.

Two figures. A cone with unknown height and radius. Formula given, V = fraction one over three, pi, r cubed. A cylinder with unknown height and radius. Formula given V = pi, r cubed.

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

19.2: Hemisferios en cajas

A hemisphere with radius r sits snugly inside a box shaped like a rectangular prism.
  1. Mai tiene un pisapapeles con forma de domo que puede usar como una lupa. El pisapapeles tiene la forma de un hemisferio hecho de cristal sólido, así que ella quiere diseñar una caja para guardarlo y que no se rompa. Su pisapapeles tiene un radio de 3 cm.
    1. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja más pequeña posible que contenga el hemisferio?
    2. ¿Cuál es el volumen de la caja?
    3. ¿Cuál es una estimación razonable del volumen del pisapapeles?
  2. Tyler tiene una caja diferente cuyas longitudes de los lados son el doble de largas que los lados de la caja de Mai. La caja de Tyler es lo suficientemente grande para contener justo un pisapapeles de cristal diferente.
    1. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?
    2. ¿Cuál es una estimación razonable para el volumen de este pisapapeles de cristal?
    3. ¿Cuántas veces tan grande como el volumen del pisapapeles de Mai crees que es el volumen del pisapapeles en la caja de Tyler? Explica tu razonamiento.

19.3: Estimemos hemisferios

  1. Un hemisferio de 5 unidades de radio cabe exactamente dentro de un cilindro de igual radio y altura.
    A hemisphere fits snugly in a cylinder.  The hemisphere has radius 5 and the cylinder has height 5.
    1. Calcula el volumen del cilindro.
    2. Estima el volumen del hemisferio. Explica tu razonamiento.
  2. Un cono cabe exactamente dentro de un hemisferio y comparten un radio de 5.
    A cone fits snugly inside a hemisphere.  The base of the cone is the flat surface of the hemisphere.  The height of the cone is the radius of the hemisphere, which is 5 units.
    1. ¿Cuál es el volumen del cono?
    2. Estima el volumen del hemisferio. Explica tu razonamiento.
  3. Compara tu estimación para el hemisferio que contiene el cono con tu estimación para el hemisferio que está dentro del cilindro. ¿Cómo se relaciona el volumen del hemisferio con el volumen del cilindro y del cono?


Estima qué fracción del volumen del cubo ocupa la pirámide que comparte la base y un vértice superior con el cubo, como se muestra en la figura.

A cube. A slice is made from a top corner to two bottom opposite corners forming a pyramid with a square base.

Resumen

Podemos estimar el volumen de un hemisferio comparándolo con otras figuras cuyo volumen conocemos. Por ejemplo, un hemisferio de radio 1 unidad cabe dentro de un cilindro de radio de 1 unidad y altura de 1 unidad.

Ya que el hemisferio está dentro del cilindro, debe tener un volumen más pequeño que el cilindro, lo que hace que el volumen del cilindro sea una sobreestimación razonable del volumen del hemisferio.

El volumen de este cilindro en particular es aproximadamente 3.14 unidades3, porque \(\pi(1)^2(1)=\pi\), así que sabemos que el volumen del hemisferio es menor que 3.14 unidades cúbicas.

A hemisphere sits snugly inside a cylinder. Each has radius 1, the cylinder has height 1.

Usando una lógica similar, un cono de 1 unidad de radio y 1 unidad de altura cabe dentro del hemisferio de 1 unidad de radio.

A cone fits snugly inside a hemisphere.  The base of the cone is the flat surface of the hemisphere.  The height of the cone is the radius of the hemisphere, which is 1 unit.

Ya que el cono está dentro del hemisferio, el cono debe tener un volumen más pequeño que el hemisferio, lo que hace que el volumen del cono sea una subestimación razonable del volumen del hemisferio.

El volumen de este cono en particular es aproximadamente 1.05 unidades3, porque \(\frac13 \pi(1)^2(1)=\frac13 \pi \approx 1.05\), así que sabemos que el volumen del hemisferio es mayor que 1.05 unidades cúbicas.

Al promediar el volumen del cilindro y el del cono, podemos estimar que el volumen del hemisferio es aproximadamente 2.10 unidades3, porque \(\frac {3.14+1.05}2 \approx 2.10\). Y, dado que un hemisferio es la mitad de una esfera, también podemos estimar que una esfera de radio 1 tendría el doble de este volumen, es decir, aproximadamente 4.20 unidades3.