Lección 15

El volumen de un cono

Exploremos conos y sus volúmenes.

15.1: ¿Cuál tiene un volumen mayor?

El cono y el cilindro tienen la misma altura y los radios de sus bases son iguales.

  1. ¿Cuál figura tiene un volumen mayor?
  2. ¿Crees que el volumen de la más pequeña es mayor o menor que \(\frac12\) del volumen de la más grande? Explica tu razonamiento.
  3. Dibuja dos conos de tamaños distintos. ¡El óvalo no tiene que estar en la parte inferior! En cada dibujo, etiqueta el radio del cono con \(r\) y la altura con \(h\).
A right circular cylinder and a right circular cone. Both the cylinder and the cone have a height of 8.

Este es un método para dibujar rápidamente un cono:

Three drawings. First, drawing of an oval. Second, the oval and a point directly above. Third, the oval, the point above, and two line segments drawn from the point to the edges of the oval.
  • Dibujar un óvalo.
  • Dibujar un punto centrado sobre el óvalo.
  • Unir los extremos del óvalo con el punto.
  • ¿Cuáles partes del dibujo estarían ocultas detrás del objeto? Estas se hacen con líneas punteadas.

15.2: De cilindros a conos

Supongamos que un cono y un cilindro tienen la misma altura y sus bases son círculos congruentes.

  1. Si el volumen del cilindro es 90 cm3, ¿cuál es el volumen del cono?
  2. Si el volumen del cono es 120 cm3, ¿cuál es el volumen del cilindro?
  3. Si el volumen del cilindro es \(V=\pi r^2h\), ¿cuál es el volumen del cono? Escribe una expresión para el volumen del cono o explica la relación en palabras.
A right cirular cylinder and a right circular cone. Both the cylinder and the cone have a height labeled h and have a radius labeled r.

 

15.3: Calculemos ese cono

  1. Estos son un cilindro y un cono que tienen la misma altura y la misma área de la base.

    ¿Cuál es el volumen de cada figura? Expresa tus respuestas en términos de \(\pi\).

    A cylinder and a cone. Cylinder has diameter 10 and height 4. Cone has height and radius drawn with dotted lines, but not labeled.
  2. Este es un cono.
    1. ¿Cuál es el área de la base? Expresa tu respuesta en términos de \(\pi\).
    2. ¿Cuál es el volumen del cono? Expresa tu respuesta en términos de \(\pi\).
    A right circular cone with a height of 8 and a radius of 6.
  3. Una taza de palomitas de maíz con forma de cono tiene un radio de 5 centímetros y una altura de 9 centímetros. ¿Cuántos centímetros cúbicos de palomitas de maíz puede contener la taza? Usa 3.14 como una aproximación para \(\pi\) y da una respuesta numérica.

 



Un silo de granos tiene una boquilla en forma de cono en su parte de abajo para regular el flujo de grano hacia afuera del silo. El diámetro del silo es 8 pies. La altura de la parte cilíndrica del silo que está sobre la boquilla en forma de cono mide 12 pies, y la altura de todo el silo es 16 pies.

¿Cuántos pies cúbicos de grano se mantienen en la boquilla en forma de cono del silo? ¿Cuántos pies cúbicos de grano puede contener todo el silo?

Grain silo, cone shaped spout on the bottom of the cylindrical silo. Silo, diameter 8 feet, height 12 feet. Height of the entire silo, 16 feet.

Resumen

Si un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura, entonces el volumen del cono es \(\frac{1}{3}\) del volumen del cilindro. Por ejemplo, el cilindro y el cono que se muestran aquí tienen una base con radio de 3 pies y una altura de 7 pies.

El cilindro tiene un volumen de \(63\pi\) pies cúbicos ya que \(\pi \boldcdot 3^2 \boldcdot 7 = 63\pi\). El cono tiene un volumen que es \(\frac13\) de esto, es decir, \(21\pi\) pies cúbicos.

An image of a right circular cone and a right circular cylinder. The cone has a height of 7 and radius of 3. The cylinder has a height of 7 and a radius of 3.

Si el radio de ambos es \(r\) y la altura de ambos es \(h\), entonces el volumen del cilindro es \(\pi r^2h\). Esto significa que el volumen, \(V\), del cono es \(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h\).

Entradas del glosario

  • cilindro

    Un cilindro es una figura tridimensional parecida a un prisma, pero con bases que son círculos.

  • cono

    Un cono es una figura tridimensional parecida a una pirámide, pero con base circular.

  • esfera

    Una esfera es una figura tridimensional cuyas secciones transversales, en cualquier dirección, son círculos.