Lección 13

El volumen de un cilindro

Exploremos cilindros y sus volúmenes.

13.1: Dimensiones de un círculo

A circle with center A. Points C, D, and B are on the circle. Segment C B contains A. Segment D A, has length 4.

Este es un círculo. Están dibujados los puntos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), y los segmentos \(AD\) y \(BC\).

  1. ¿Cuál es el área del círculo, en unidades cuadradas? Selecciona todas las que apliquen.
    1. \(4\pi\)
    2. \(\pi 8\)
    3. \(16\pi\)
    4. \(\pi 4^2\)
    5. Aproximadamente 25
    6. Aproximadamente 50
  2. Si el área de un círculo es \(49\pi\) unidades cuadradas, ¿cuál es su radio? Explica tu razonamiento.

13.2: Volúmenes circulares

¿Cuál es el volumen de cada figura, en unidades cúbicas? Incluso si no estás seguro, intenta hacer una conjetura razonable.

Three figures, A, B, C. Figure A is a rectangular prism, length 8, width 2, height 3. Figure B is a cylinder with radius 4 and height 1. Figure C is a cylinder with radius 4, height 3.
  1. Figura A: A es un prisma rectangular cuya base tiene un área de 16 unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.
  2. Figura B: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16\(\pi\) unidades cuadradas y cuya altura es 1 unidad.
  3. Figura C: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16\(\pi\) unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.


prisma prisma prisma cilindro
base: cuadrado base: hexágono base: octágono base: círculo
Four figures. Figure A, square prism, base sides each square root of 2. Figure B, base is a hexagon, height 5. Figure C, base is an octagon, height 5. Figure D, cylinder, height 5.

Estos sólidos están relacionados por una medida común. En cada uno de estos sólidos, la distancia del centro de la base al borde más lejano de la base es 1 unidad, y la altura del sólido es 5 unidades. Usa 3.14 como una aproximación para \(\pi\) para resolver estos problemas.

  1. Determina el área de la base cuadrada y de la base circular.
  2. Usa estas áreas para calcular los volúmenes del prisma rectangular y del cilindro. ¿Cómo se relacionan?
  3. Sin hacer cálculos, haz una lista de las figuras de menor a mayor de acuerdo a su volumen. Usa las imágenes y tu conocimiento de polígonos para explicar tu razonamiento.
  4. El área del hexágono es aproximadamente 2.6 unidades cuadradas y el área del octágono es aproximadamente 2.83 unidades cuadradas. Usa estas áreas para calcular los volúmenes de los prismas con el hexágono y el octágono como bases. ¿Qué tanto coincide esto con tu razonamiento en la pregunta anterior?

13.3: Las dimensiones de un cilindro

  1. En los cilindros A al D, dibuja un radio y la altura. Etiqueta el radio con una \(r\) y la altura con una \(h\).

    Six cylinders. A, plain cylinder. B, green cylinder, tilted to the right. C, canister of rolled oats. D, cylinder with greater width than radius, base vertical, like a wheel. E, tanker truck. F, silo.
  2. Ya has aprendido cómo dibujar un cilindro. Dibuja cilindros para E y F, y etiqueta el radio y la altura de cada uno.

13.4: El volumen de un cilindro

  1. Este es un cilindro con altura de 4 unidades y diámetro de 10 unidades.

    A right circular cylinder with a height of 4 and a diameter of 10.
    1. Sombreen la base del cilindro.
    2. ¿Cuál es el área de la base del cilindro? Expresen su respuesta en términos de \(\pi\).
    3. ¿Cuál es el volumen de este cilindro? Expresen su respuesta en términos de \(\pi\).

  2. Un silo es un recipiente cilíndrico que se usa en las granjas para mantener grandes cantidades de productos, tales como granos. En una granja en particular, un silo tiene una altura de 18 pes y diámetro de 6 pies. Hagan un dibujo de este silo y etiqueten su altura y radio. ¿Cuántos pies cúbicos de granos puede contener este silo? Usen 3.14 como una aproximación para \(\pi\).



Una manera de construir un cilindro es tomar un rectángulo (por ejemplo, una hoja de papel), enrollar dos bordes opuestos juntos y pegarlos en su lugar.

 

¿Qué te daría un cilindro con mayor volumen: pegar los dos bordes punteados juntos o pegar los dos lados continuos juntos?

Rectangle, horizontal lines solid, length, 2, vertical lines dashed, length, 3.

 

Resumen

Se puede determinar el volumen de un cilindro con radio \(r\) y altura \(h\) usando dos ideas que se han estudiando antes:

  • El volumen de un prisma rectangular es el resultado de multiplicar el área de su base por su altura.
  • La base del cilindro es un círculo con radio \(r\), así que el área de la base es \(\pi r^2\).

Recordar que \(\pi\) es el número que se obtiene cuando se divide la circunferencia de cualquier círculo entre su diámetro. El valor de \(\pi\) es aproximadamente 3.14.

De la misma manera que con un prisma rectangular, el volumen de un cilindro es el área de su base multiplicada por su altura. Por ejemplo, se toma un cilindro cuyo radio es 2 cm y cuya altura es 5 cm.

A drawing of a cylinder whose radius is 2 and height is 5.

La base tiene un área de \(4\pi\) cm2 (ya que \(\pi\boldcdot 2^2=4\pi\)), así que el volumen es \(20\pi\) cm3 (ya que \(4\pi \boldcdot 5 = 20\pi\)). Al usar 3.14 como una aproximación para \(\pi\), se puede decir que el volumen del cilindro es aproximadamente 62.8 cm3.

En general, la base de un cilindro con radio \(r\) unidades tiene un área \(\pi r^2\) unidades cuadradas. Si la altura es \(h\) unidades, entonces el volumen \(V\) en unidades cúbicas es \(\displaystyle V=\pi r^2h\)

Entradas del glosario

  • cilindro

    Un cilindro es una figura tridimensional parecida a un prisma, pero con bases que son círculos.

  • cono

    Un cono es una figura tridimensional parecida a una pirámide, pero con base circular.

  • esfera

    Una esfera es una figura tridimensional cuyas secciones transversales, en cualquier dirección, son círculos.