Lección 20

El volumen de una esfera

Exploremos esferas y sus volúmenes. 

20.1: Dibujemos una esfera

Este es un método para dibujar rápidamente una esfera:

  • Dibuja un círculo.
  • Dibuja un óvalo en el medio cuyos bordes toquen la esfera.
Two images.  First, a circle.  Second, a circle drawn with an oval in the middle whose edges tough the sphere. Half of the oval is dotted to indicate that it would be on the back of the sphere.
  1. Practica dibujar algunas esferas. Dibújalas de tamaños diferentes.
  2. Para cada bosquejo, dibuja un radio y etiquétalo con \(r\).

20.2: Una esfera en un cilindro

An image with three shapes: a cone, a sphere and a cylinder.
Estos son un cono, una esfera y un cilindro todos con los mismos radios y alturas. El radio del cilindro es 5 unidades. Si es necesario, expresa todas las respuestas en términos de \(\pi\).
  1. ¿Cuál es la altura del cilindro?
  2. ¿Cuál es el volumen del cilindro?
  3. ¿Cuál es el volumen del cono?
  4. ¿Cuál es el volumen de la esfera? Explica tu razonamiento.

20.3: Esferas en cilindros

An image with three shapes: a cone, a sphere and a cylinder.

Estos son un cono, una esfera y un cilindro que tienen todos los mismos radios y las mismas alturas. Digamos que el radio del cilindro es \(r\) unidades. Cuando sea necesario, expresa las respuestas en términos de \(\pi\).

  1. ¿Cuál es la altura del cilindro en términos de \(r\)?
  2. ¿Cuál es el volumen del cilindro en términos de \(r\)?
  3. ¿Cuál es el volumen del cono en términos de \(r\)?
  4. ¿Cuál es el volumen de la esfera en términos de \(r\)?
  5. El volumen del cono es \(\frac13\) del volumen de un cilindro. ¿Qué fracción del volumen del cilindro es el volumen de la esfera?

Resumen

Piensa en una esfera con radio \(r\) unidades que cabe de manera ajustada dentro de un cilindro. Si este es el caso, el cilindro debe tener un radio de \(r\) unidades y una altura de \(2r\) unidades. Si usamos lo que hemos aprendido sobre volumen, el cilindro tiene un volumen de \(\pi r^2 h = \pi r^2 \boldcdot (2r)\), lo que es igual a \(2\pi r^3\) unidades cúbicas.

Sabemos por una lección anterior que el volumen de un cono que tiene la misma base y la misma altura de un cilindro tiene \(\frac{1}{3}\) del volumen del cilindro. En este ejemplo, ese cono tiene un volumen de \(\frac{1}{3} \boldcdot \pi r^2 \boldcdot 2r\) o simplemente \(\frac{2}{3} \pi r^3\) unidades cúbicas.

Three figures. First, cone, radius, r, height 2 r. Second, sphere, radius, r. Third, cylinder, radius, r, height, 2 r.

Si llenamos el cono y la esfera con agua y luego vertimos toda el agua en el cilindro, el cilindro quedará completamente lleno. Esto significa que el volumen de la esfera y el volumen del cono se suman al volumen del cilindro. En otras palabras, si \(V\) es el volumen de la esfera, entonces:

\(\displaystyle V +\frac{2}{3}\pi r^3= 2 \pi r^3\)

Esto nos lleva a la fórmula del volumen de la esfera:

\(\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3\)