Lección 11
Polígonos
Investiguemos los polígonos y sus áreas.
11.1: ¿Cuál es diferente?: bases y alturas
¿Cuál es diferente?
![Four triangles on a grid, labeled S, T, U, and V.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/KpYLFhV9dgsS2Mm2TM4vESA6?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1.Image.00.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1.Image.00.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=dfd8154862ca93174ce0aa307f4c00afe57235b6729f70b4efcd441e34a9231f)
11.2: ¿Qué son los polígonos?
Estos son cinco polígonos:
![5 polygons](https://cms-im.s3.amazonaws.com/VoF994PnXWy2GWoLpQZyfAkV?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1_Image_1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1_Image_1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=f7cd115e6cd5cf8c57b3cb35fe65f0acc4a0e599b21e9b0e180968655e9e1fd8)
Estas son seis figuras que no son polígonos:
![six figures that are not polygons:](https://cms-im.s3.amazonaws.com/BxMSkSsKxy6G9WdgZsHuj9FD?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1_Image_2.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1_Image_2.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=7a5e1ff4d4b66b556a1d7b74f0aa8228a2ea0f7c2cdaee6ea595243b4e32cf6b)
-
Encierra las figuras que son polígonos.
-
¿Qué tienen en común las figuras que encerraste? ¿Qué características te ayudaron a decidir si la figura era un polígono?
11.3: Estrategias para cuadriláteros
Encuentra el área de dos cuadriláteros de tu elección. Muestra tu razonamiento.
![Six quadrilaterals labeled A--F.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/vBViNsuruN7s5WgBsa3dW2bp?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1.Image.04.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1.Image.04.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=e3e13c28aac5610bd519c5ca1895c547f99215df3cf640969081c0e3f47850e9)
Este es un trapecio. \(a\) y \(b\) representan las longitudes de sus lados inferior y superior. El segmento llamado \(h\) representa su altura; esta es perpendicular a los lados superior e inferior.
![Trapezoid, bases labeled b and a, height labeled h](https://cms-im.s3.amazonaws.com/L43tLW2pLBUEqdvNevXBDENH?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1.Image.04a.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1.Image.04a.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=fbe8934dc11f7b20de225526bfc0708eed890cf1bfadf3d2ebcc337c4900658b)
Usa las estrategias de razonamiento para áreas (descomponer, reorganizar, duplicar, etc.) en el trapecio para que tengas una o más figuras con áreas que ya sepas cómo calcular. Usa las figuras como ayuda para escribir una fórmula para calcular el área de un trapecio. Muestra tu razonamiento.
11.4: Un molinete
Halla el área de la región sombreada en unidades cuadradas. Muestra tu razonamiento.
![A shaded polygon on a grid.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/rhx6K4hGFt8uVJ8CZR3N1tHZ?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1_Image_8.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1_Image_8.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=7ecfd998d99f85eb4f7d2ed28beb0e9ec9ce6130a199ff0278eb512f7554327a)
Resumen
Un polígono es una figura bidimensional compuesta por segmentos de recta.
- Cada extremo de un segmento de recta se conecta con otro segmento de recta. El punto donde dos segmentos de recta se conectan es un vértice.
- Los segmentos de recta se llaman aristas o lados del polígono. Los lados nunca se cruzan entre sí. Siempre hay el mismo número de vértices que de lados.
Este es un polígono con 5 lados. Los vértices se etiquetaron con las letras \(A, B, C, D\) y \(E\).
Un polígono encierra una región. Hallar el área de un polígono es hallar el área de la región que está encerrada.
![Polygon with 5 sides](https://cms-im.s3.amazonaws.com/vX4Fuu5wNYEei4g256Qh6R3G?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1_Image_13.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1_Image_13.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=beec67c00df0081d5c3cb2e989b87faa7f06fc6010d4581092f5ea5019735d43)
Podemos hallar el área de un polígono por descomponer la región dentro de él en triángulos y rectángulos.
![Three identical five-sided polygons. The first two are divided up into triangles in rectangles. The third is surrounded by a rectangle, the area of which outside the polygon is shaded.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/yySW5uTCXXVjVa1nmd6uWUgt?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.D1.Image.14.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.D1.Image.14.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T034251Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=c1429c8e10ea36363e93edeb2d7ef4c983631597901a827f65b3daa9dde6c881)
Los primeros dos diagramas muestran el polígono descompuesto en triángulos y rectángulos; la suma de sus áreas es el área del polígono. El último diagrama muestra el polígono encerrado en un rectángulo; al restarle al área del rectángulo las áreas de los triángulos obtenemos el área del polígono.
Entradas del glosario
- polígono
Un polígono es una figura bidimensional, cerrada, compuesta por segmentos de recta que no se cruzan entre sí.
Por ejemplo, la figura \(ABCDE\) es un polígono.