Lección 17
Cuadrados y cubos
Investiguemos cuadrados perfectos y cubos perfectos.
17.1: Cuadrados perfectos
- El número 9 es un cuadrado perfecto. Encuentra cuatro números que sean cuadrados perfectos y dos números que no sean cuadrados perfectos.
- Un cuadrado tiene lado de longitud 7 in. ¿Cuál es su área?
- El área de un cuadrado es 64 sq cm. ¿Cuál es su longitud de lado?
![Nine squares arranged into a 3 by 3 square.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/vbYRHXxbzFs3gFjFsdhXCwCy?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.F1_Image_1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.F1_Image_1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T005933Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=e94d17d08d2b6205ad95be820a81b0b68a5e7b88d0799f6b6d707c9677608e66)
17.2: Una construcción con 32 cubos
Su profesor les dará 32 cubos encajables. Úsenlos para construir el cubo más grande posible. Los lados de cada cubo pequeño miden 1 unidad.
- ¿Cuántos cubos encajables usaron?
- ¿Cuál es la longitud de lado del cubo que construyeron?
- ¿Cuál es el área de cada cara del cubo que construyeron? Muestren su razonamiento.
- ¿Cuál es el volumen del cubo que construyeron? Muestren su razonamiento.
17.3: Cubos perfectos
-
El número 27 es un cubo perfecto. Encuentra otros cuatro números que sean cubos perfectos y dos números que no sean cubos perfectos.
- La longitud de lado de un cubo es 4 cm. ¿Cuál es su volumen?
- La longitud de lado de un cubo es 10 pulgadas. ¿Cuál es su volumen?
- La longitud de lado de un cubo es \(s\) unidades. ¿Cuál es su volumen?
![A 3 by 3 by 3 cube.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/5kiHo1he6M2mUuE7epcypWKz?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.1.F1_Image_4.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.1.F1_Image_4.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240727%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240727T005933Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=41838d79fcfd1cafce0ed24bcee9d9e762b16148916b9491b3aae8ef3325f7c7)
17.4: Introducción a los exponentes
Asegúrate de incluir las unidades de medida correctas como parte de cada respuesta.
- Un cuadrado tiene longitud de lado de 10 cm. Usa un exponente para expresar su área.
- El área de un cuadrado es \(7^2\) sq in. ¿Cuál es su longitud de lado?
- El área de un cuadrado es 81 m2. Usa un exponente para expresar esta área.
- Un cubo tiene longitud de lado de 5 in. Usa un exponente para expresar su volumen.
- El volumen de un cubo es \(6^3\) cm3. ¿Cuál es su longitud de lado?
- Un cubo tiene longitud de lado de \(s\) unidades. Usa un exponente para escribir una expresión para su volumen.
El número 15,625 es un cuadrado perfecto y también un cubo perfecto. Es un cuadrado perfecto porque es igual a \(125^2\). También es un cubo perfecto porque es igual a \(25^3\). Encuentra otro número que sea un cuadrado perfecto y también un cubo perfecto. ¿Cuántos puedes encontrar?
Resumen
Cuando multiplicamos dos números iguales, como \(5\boldcdot5\), decimos que estamos elevando el número al cuadrado. Lo podemos escribir así: \(\displaystyle 5^2\) Como \(5\boldcdot5=25\), escribimos \(5^2=25\) y decimos que "5 al cuadrado es 25".
Cuando multiplicamos tres números iguales, como \(4\boldcdot4\boldcdot4\), decimos que estamos elevando el número al cubo. Lo podemos escribir así: \(\displaystyle 4^3\) Como \(4\boldcdot4\boldcdot4=64\), escribimos \(4^3=64\) y decimos que "4 al cubo es 64".
También usamos esta notación para unidades cuadradas y cúbicas.
- Un cuadrado con una lado de longitud de 5 pulgadas tiene un área de 25 in2.
- Un cubo con lado de longitud de 4 cm tiene un volumen de 64 cm3.
Para leer 25 in2, decimos "25 pulgadas cuadradas", al igual que antes.
El área de un cuadrado con un lado de longitud de 7 kilómetros es \(7^2\) km2. El volumen de un cubo con un lado de longitud de 2 milímetros es \(2^3\) mm3.
En general, el área de un cuadrado con lado de longitud de \(s\) es \(s^2\) y el volumen de un cubo con lado de longitud \(s\) es \(s^3\).
Entradas del glosario
- al cuadrado
Usamos la expresión al cuadrado para decir "elevado a la potencia de 2". Esta expresión viene del hecho de que un cuadrado con lados de longitud \(s\) tiene área \(s⋅s\), es decir \(s^2\).
- al cubo
Usamos la expresión al cubo para decir "a la potencia de 3". Esta expresión viene del hecho de que un cubo con lados de longitud \(s\) tiene volumen \(s⋅s⋅s\), es decir \(s^3\).
- exponente
En expresiones como \(5^3\) y \(8^2\), el 3 y el 2 se llaman exponentes. Estos nos indican cuántas veces multiplicar cada número por sí mismo. Por ejemplo, \(5^3\) = \(5 \boldcdot 5 \boldcdot 5\) y \(8^2 = 8 \boldcdot 8\).