Lección 10

Introducción a las gráficas de las relaciones proporcionales

Veamos en qué se diferencian las gráficas de las relaciones proporcionales y las gráficas de otras relaciones.

10.1: Observa estos puntos

  1. Grafica los puntos \((0,10), (1,8), (2,6), (3,4), (4,2)\).
    Grid with Quadrant 1. Horizontal axis, labeled x, 0 to 7, by 1's. Vertical axis, labeled y, 0 to 11, by 1's.
  2. ¿Qué observas sobre la gráfica?

10.2: Camisetas en venta

Unas camisetas cuestan \$8 cada una.

  \(x\)     \(y\)  
1 8
2 16
3 24
4 32
5 40
6 48

  1. Utiliza la tabla para responder estas preguntas.

    1. ¿Qué representa \(x\)?
    2. ¿Qué representa \(y\)?
    3. ¿Hay una relación proporcional entre \(x\) y \(y\)?
  2. Grafica las parejas en la tabla sobre el plano de coordenadas.
    Graph. Horizontal axis, 0 to 6, by 1's. Vertical axis, 0 to 50, by 10's.
  3. ¿Qué observas sobre la gráfica?

10.3: Emparejemos tablas y gráficas

El profesor les dará tarjetas que muestran tablas y gráficas.

  1. Examinen las gráficas detenidamente. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las gráficas?
  2. Clasifiquen las gráficas en categorías de su elección. Etiqueten cada categoría. Prepárense para explicar por qué organizaron las gráficas de la manera que lo hicieron. 

  3. Tomen turnos con su compañero para emparejar una tabla con una gráfica.

    1. Por cada pareja que encuentren, explíquenle a su compañero cómo saben que es una pareja.
    2. Por cada pareja que encuentre su compañero, escuchen con atención su explicación. Si no están de acuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. 

    Hagan una pausa para que el profesor pueda revisar su trabajo.

  4. Intercambien lugares con otro grupo. ¿En qué se parecen las categorías del otro grupo a las suyas? ¿En qué se diferencian? 
  5. Vuelvan a su lugar original. Discutan todos los cambios que deseen hacer a sus categorías con base en lo que hizo el otro grupo. 
  6. ¿Cuáles de las relaciones son proporcionales?
  7. ¿Qué han observado sobre las gráficas de relaciones proporcionales? ¿Creen que esto será válido para todas las gráficas de relaciones proporcionales?


  1. Todas las gráficas en esta actividad muestran puntos en los que ambas coordenadas son positivas. ¿Tendría sentido que alguna de ellas tenga una o más coordenadas que fueran negativas?
  2. La ecuación de una relación proporcional es de la forma \(y = kx\), donde \(k\) es un número positivo, y su gráfica es una recta que pasa por \((0,0)\). ¿Cómo se vería la gráfica si \(k\) fuera un número negativo?

Resumen

Una forma de representar una relación proporcional es con una gráfica. Esta es una gráfica que representa diferentes cantidades que se ajustan a la situación, "costo de los arándanos $6 por libra".

Diferentes puntos en la gráfica nos dicen, por ejemplo, que 2 libras de arándanos cuestan $12 y 4.5 libras de arándanos cuestan $27.

Algunas veces tiene sentido unir los puntos con una recta y algunas veces no. Podríamos comprar, por ejemplo, 4.5 libras de arándanos o 1.875 libras de arándanos, por lo que todos los puntos en medio de los números enteros tienen sentido en la situación y, por lo tanto, cualquier punto sobre la recta es significativo.

Si la gráfica representara el costo para diferentes cantidades de sándwiches (en lugar de libras de arándanos), podría no tener sentido unir los puntos con una recta, porque normalmente no es posible comprar 4.5 sándwiches o 1.875 sándwiches. Sin embargo, incluso si solo algunos puntos tienen sentido en la situación, algunas veces unimos los puntos con una recta para que sea más fácil ver la relación

Todas las gráficas que representan relaciones proporcionales tienen unas cuantas cosas en común:

  • Los puntos que satisfacen la relación están sobre una línea recta. 
  • La recta sobre la que están los puntos pasa por el origen, \((0,0)\).

Estas son algunas gráficas que no representan relaciones proporcionales:

Graph of a non-proportional relationship, x y plane, origin O.

Estos puntos no están sobre una recta.

Line graph. Horizontal axis, 0 to 7, by 1's. Vertical Axis, 0 to 6, by 1's. 

Esta es una recta, pero no pasa por el origen.

Entradas del glosario

  • origen

    El origen es el punto (0,0) en el plano de coordenadas. Es el punto en el cual se intersecan el eje horizontal y el eje vertical.

    a coordinate plane
  • plano de coordenadas

    El plano de coordenadas es un sistema para especificar la ubicación de puntos. Por ejemplo, el punto \(R\) está ubicado en \((3, 2)\) en el plano de coordenadas, porque está tres unidades a la derecha y dos unidades arriba del origen.

    Point \(R\) on a coordinate plane, origin \(O\). Horizontal and vertical axis scale negative 4 to 4 by 1’s. The point has coordinates \(R\)(3 comma 2).