Lección 4

Relaciones proporcionales y ecuaciones

Escribamos ecuaciones que describan relaciones proporcionales.

4.1: Conversación numérica: división

Encuentra mentalmente cada cociente.

\(645\div100\)

\(645\div50\)

\(48.6\div30\)

\(48.6\div x\)

4.2: Alimentemos otra vez a muchas personas

  1. Una receta dice que 2 tazas de arroz seco alcanzarán para 6 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

    1. ¿Para cuántas personas alcanzará 1 taza de arroz? 

    2. ¿Para cuántas personas alcanzarán 3 tazas de arroz?, ¿12 tazas?, ¿43 tazas?

    3. ¿Para cuántas personas alcanzarán \(x\) tazas de arroz? 

    tazas de arroz seco número de personas
    1  
    2 6
    3  
    12  
    43  
    \(x\)  

  2. Una receta dice que 6 spring rolls alcanzarán para 3 personas. Completa la tabla mientras que respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento. 

    1. ¿Para cuántas personas alcanzará 1 spring roll?
    2. ¿Para cuántas personas alcanzarán 10 spring rolls?, ¿16 spring rolls?, ¿25 spring rolls?
    3. ¿Para cuántas personas alcanzarán \(n\) spring rolls?
    número de spring rolls número de personas
    1  
    6 3
    10  
    16  
    25  
    \(n\)  
  3. ¿En qué fue diferente completar esta tabla y completar la tabla anterior?, ¿en qué fue semejante?

4.3: De Denver a Chicago

Un avión voló a una rapidez constante entre Denver y Chicago, y tardó 1.5 horas en volar 915 millas.

A map of 6 states that include Colorado, Nebraska, Kansas, Iowa, Missouri, and Illinois.
  1. Completa la tabla.
    tiempo (horas) distancia (millas) rapidez (millas por hora)
    1
    1.5 915
    2
    2.5
    \(t\)
  2. ¿Cuánto vuela el avión en una hora?
  3. ¿Cuánto volaría el avión en \(t\) horas a esta rapidez?
  4. Si \(d\) representa la distancia que el avión vuela a esta rapidez en \(t\) horas, escribe una ecuación que relacione \(t\) y \(d\).
  5. ¿Cuánto volaría el avión en 3 horas a esta rapidez? ¿En 3.5 horas? Explica o muestra tu razonamiento.


Un planeta rocoso orbita alrededor de Próxima Centauri, una estrella que queda alrededor de 1.3 parsecs de la Tierra. Este es el planeta más cercano por fuera de nuestro sistema solar. 

  1. ¿Cuánto tiempo tarda la luz de Próxima Centauri en alcanzar la Tierra? (Un parsec son aproximadamente 3.26 años luz. Un año luz es la distancia que la luz recorre en un año).
  2. Hay dos hermanos gemelos. Uno de ellos quiere explorar el planeta cercano a Próxima Centauri y sale en una nave espacial viajando al 90% de la rapidez de la luz, mientras que el otro hermano gemelo se queda en la Tierra. ¿Cuánto envejece el gemelo que se queda en la Tierra mientras el otro gemelo viaja a Próxima Centauri? (¿Crees que la respuesta sería la misma para el otro gemelo? Puedes consultar "La paradoja de los gemelos" para aprender más de esto).

4.4: Retomemos la actividad "Masa de pan"

En una pastelería usan 8 cucharadas de miel por cada 10 tazas de harina para hacer masa de pan. Algunos días se hacen tandas más grandes y otros días tandas más pequeñas, pero siempre con la misma razón de miel a harina.

  1. Completa la tabla.
  2. Si \(f\) es el número de tazas de harina que se necesitan para \(h\) cucharadas de miel, escribe una ecuación que relacione \(f\) y \(h\).

  3. ¿Cuánta harina se necesita para 15 cucharadas de miel? Explica o muestra tu razonamiento.

miel (cucharadas) harina (tazas)
1
8 10
16
20
\(h\)

Resumen

La tabla muestra la cantidad de pintura roja y de pintura azul que se necesita para obtener cierto tono de pintura morada, llamado Atardecer de Venus.

Observa que "partes" puede ser cualquier unidad de volumen. Si mezclamos 3 tazas de rojo con 12 tazas de azul, obtendremos el mismo tono que si mezclamos 3 cucharaditas de rojo con 12 cucharaditas de azul.

pintura roja
(partes)		 pintura azul
(partes)
3 12
1 4
7 28
\(\frac14\) 1
\(r\) \(4 r\)

La última fila en la tabla dice que si conocemos la cantidad de pintura roja que se necesita, \(r\), siempre la podemos multiplicar por 4 para encontrar la cantidad de pintura azul, \(b\), que se debe mezclar para obtener Atardecer de Venus. Podemos decir esto de forma más corta con la ecuación \(b=4 r\). Así que la cantidad de pintura azul es proporcional a la cantidad de pintura roja y la constante de proporcionalidad es 4.

También podemos ver esta relación en la dirección opuesta.

Si conocemos la cantidad de pintura azul, \(b\), que se necesita, siempre la podemos multiplicar por \(\frac14\) para encontrar la cantidad de pintura roja, \(r\), que se debe mezclar para obtener Atardecer de Venus. Así que \(r=\frac14  b\). La cantidad de pintura roja es proporcional a la cantidad de pintura azul y la constante de proporcionalidad es \(\frac14\).

pintura azul
(partes)		 pintura roja
(partes)
12 3
4 1
28 7
1 \(\frac14\)
\(b\) \(\frac14  b\)

En general, cuando \(y\) es proporcional a \(x\), siempre podemos multiplicar \(x\) por el mismo número \(k\), la constante de proporcionalidad, para obtener \(y\). Podemos escribir esto de manera mucho más corta con la ecuación \(y=k x\).