Lección 2

Introducción a las relaciones proporcionales usando tablas

Resolvamos problemas que involucran relaciones proporcionales usando tablas.

2.1: Observa y pregúntate: toallas de papel por cajas

Esta es una tabla que muestra cuántos rollos de toallas de papel recibe un almacén al pedir diferentes números de cajas.

¿Qué observas de la tabla? ¿Qué te preguntas?

2.2: Alimentemos a muchas personas

  1. Una receta dice que 2 tazas de arroz seco alcanzarán para 6 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

    1. ¿Cuántas personas pueden comer con 10 tazas de arroz?

    2. ¿Cuántas tazas de arroz se necesitan para que coman 45 personas?

    tazas de arroz número de personas
    2 6
    3 9
    10  
      45
  2. Una receta dice que 6 spring rolls son suficientes para que coman 3 personas. Completa la tabla.
    número de spring rolls número de personas
    6 3
    30  
    40  
      28

2.3: Hacer masa de pan

En una panadería se usan 8 cucharadas de miel por cada 10 tazas de harina para hacer masa de pan. Algunos días se hacen tandas más grandes y otros días tandas más pequeñas, pero siempre se usa la misma razón de miel a harina. Completa la tabla mientras contestas las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. ¿Cuántas tazas de harina se usan con 20 cucharadas de miel?

  2. ¿Cuántas tazas de harina se usan con 13 cucharadas de miel?

  3. ¿Cuántas cucharadas de miel se usan con 20 tazas de harina?

  4. ¿Cuál es la relación proporcional que esta tabla representa?

miel (cucharadas) harina (tazas)
8 10
20  
13  
  20

 

2.4: Monedas de veinticinco y de diez centavos

4 monedas de veinticinco centavos tienen el mismo valor que 10 monedas de diez centavos.

  1. ¿Cuántas monedas de diez centavos tienen el mismo valor que 6 monedas de veinticinco centavos?
  2. ¿Cuántas monedas de diez centavos tienen el mismo valor que 14 monedas de veinticinco centavos?
  3. ¿Qué valor va al lado del 1 en la tabla? ¿Qué significa ese valor en este contexto?
número de monedas
de veinticinco centavos
número de monedas
de diez centavos
1  
4 10
6  
14  


Los centavos hechos antes de 1982 son 95% cobre y pesan alrededor de 3.11 gramos cada uno (los centavos hechos después de esa fecha son hechos principalmente de zinc). Algunas personas afirman que el valor del cobre de una de esas monedas es mayor que el valor nominal de la moneda. Averigua cuánto vale el cobre actualmente y decide si esta afirmación es cierta.

Resumen

Si las razones entre dos cantidades correspondientes siempre son equivalentes, la relación entre esas cantidades se llama una relación proporcional.

Esta tabla muestra diferentes cantidades de leche y jarabe de chocolate. Los ingredientes de cada fila, al mezclarse, darían una cantidad total diferente de leche achocolatada, pero todas estas mezclas tendrían el mismo sabor.

Observa que cada fila de la tabla muestra una razón de cucharadas de jarabe de chocolate a tazas de leche que es equivalente a \(4:1\).

Podemos decir lo siguiente acerca de la relación entre estas dos cantidades:

cucharadas de
jarabe de chocolate 
tazas de
leche
4 1
6 \(1\frac{1}{2}\)
8 2
\(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{8}\)
12 3
1 \(\frac{1}{4}\)
  • La relación entre cantidad de jarabe de chocolate y cantidad de leche es proporcional.
  • La relación entre la cantidad de jarabe de chocolate y la cantidad de leche es una relación proporcional. 
  • La tabla representa una relación proporcional entre la cantidad de jarabe de chocolate y la cantidad de leche.
  • La cantidad de leche es proporcional a la cantidad de jarabe de chocolate. 

Podríamos multiplicar cualquier valor de la columna de jarabe de chocolate por \(\frac14\) para obtener el valor de la columna de leche. Podríamos llamar \(\frac14\) una tasa unitaria, porque para 1 cucharada de jarabe de chocolate se necesitan \(\frac14\) tazas de leche. También decimos que \(\frac14\) es la constante de proporcionalidad de esta relación. Esta nos dice cuántas tazas de leche deberíamos mezclar con 1 cucharada de jarabe de chocolate.

Entradas del glosario

  • constante de proporcionalidad

    En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican todos por un mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. Ese número se llama la constante de proporcionalidad.

    En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3, pues \(2 \boldcdot 3 = 6\), \(3 \boldcdot 3 = 9\) y \(5 \boldcdot 3 = 15\). Esto significa que, en la ensalada de frutas, hay 3 manzanas por cada 1 naranja.

    número de naranjas número de manzanas
    2 6
    3 9
    5 15

     

  • razones equivalentes

    Dos razones son equivalentes si puedes multiplicar cada uno de los números de la primera razón por el mismo factor y obtener los números de la segunda razón. Por ejemplo, \(8:6\) es equivalente a \(4:3\) porque \(8\boldcdot\frac12 = 4\) y \(6\boldcdot\frac12 = 3\).

    Una receta de limonada indica que se deben usar 8 tazas de agua y 6 limones. Si usamos 4 tazas de agua y 3 limones, vamos a producir la mitad de la cantidad de limonada. Ambas recetas saben igual, porque \(8:6\) y \(4:3\) son razones equivalentes.

    tazas de agua número de limones
    8 6
    4 3
  • relación proporcional

    En una relación proporcional, todos los valores de una cantidad se pueden multiplicar, cada uno por el mismo número, para obtener los valores de la otra cantidad.

    Por ejemplo, en esta tabla, cada valor de \(p\) es igual a 4 veces el valor de \(s\) en la misma fila.

    Podemos escribir esta relación como \(p=4s\). Esta ecuación muestra que \(p\) es proporcional a \(s\).

    \(s\) \(p\)
    2 8
    3 12
    5 20
    10 40